【题目】已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).当x>0时,f(x)>0
(1)求证:f(x)是奇函数;
(2)若 , 试求f(x)在区间[﹣2,6]上的最值;
【答案】解:(1)令x=0,y=0,则f(0)=2f(0),
∴f(0)=0.令y=﹣x,则f(0)=f(x)+f(﹣x),
∴f(x)=f(﹣x),即f(x)为奇函数;
(2)任取x1 , x2∈R,且x1<x2
∵f(x+y)=f(x)+f(y),
∴f(x2)﹣f(x1)=f(x2﹣x1),
∵当x>0时,f(x)>0,且x1<x2 ,
∴f(x2﹣x1)>0,
即f(x2)>f(x1),
∴f(x)为增函数,
∴当x=﹣2时,函数有最小值,f(x)min=f(﹣2)=﹣f(2)=﹣2f(1)=﹣1.
当x=6时,函数有最大值,f(x)max=f(6)=6f(1)=3
【解析】(1)在给出的等式中取x=y=0,求得f(0)=0,再取y=﹣x可证明f(x)是奇函数;
(2)利用函数单调性的定义,借助于已知等式证明函数f(x)为增函数,从而求出函数在给定区间上的最值;
【考点精析】利用函数的奇偶性和指、对数不等式的解法对题目进行判断即可得到答案,需要熟知偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称;指数不等式的解法规律:根据指数函数的性质转化;对数不等式的解法规律:根据对数函数的性质转化.
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【题目】已知数列满足
,
,其中
.
(1)设,求证:数列
是等差数列,并求出
的通项公式;
(2)设,数列
的前
项和为
,是否存在正整数
,使得
对于
恒成立,若存在,求出
的最小值,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平面四边形ABCD中,△BCD是正三角形,AB=AD=1,∠BAD=θ.
(Ⅰ)将四边形ABCD的面积S表示成关于θ的函数;
(Ⅱ)求S的最大值及此时θ的值.
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【题目】猜商品的价格游戏, 观众甲: 主持人:高了! 观众甲:
主持人:低了! 观众甲:
主持人:高了! 观众甲:
主持人:低了! 观众甲:
主持人:低了! 则此商品价格所在的区间是 ( )
A. B.
C. D.
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【题目】函数的定义域为
,对给定的正数
,若存在闭区间
,使得函数
满足:①
在
内是单调函数;②
在
上的值域为
,则称区间
为
的
级“理想区间”.下列结论错误的是( )
A. 函数(
)存在1级“理想区间”
B. 函数(
)不存在2级“理想区间”
C. 函数(
)存在3级“理想区间”
D. 函数,
不存在4级“理想区间”
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【题目】如图所示:湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行,某一时刻,甲船在最前面的点处,乙船在中间
点处,丙船在最后面的
点处,且
.一架无人机在空中的
点处对它们进行数据测量,在同一时刻测得
,
.(船只与无人机的大小及其它因素忽略不计)
(1)求此时无人机到甲、丙两船的距离之比;
(2)若此时甲、乙两船相距100米,求无人机到丙船的距离.(精确到1米)
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