Question

【题目】在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，Q为l上的动点，以OQ为边作等边三角形OPQ，且三点O，P，Q按逆时针方向排列.

（Ⅰ）设点P运动轨迹E的直角坐标方程；

（Ⅱ）若曲线经过伸缩变换得到曲线，若点M为曲线上的动点，且点M到曲线E的最小距离为1，求实数a的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）首先结合题意求得点的极坐标方程，然后将极坐标方程转化为直角坐标方程即可；

（Ⅱ）首先利用伸缩变换求得的方程，结合参数方程的思想可设，根据点到直线的距离公式转化为三角函数的关系即可得出结果.

（Ⅰ）设点，则由题意可得点的坐标为，

再由直线的极坐标方程为，

可得，可得，

故点的直角坐标方程为.

（Ⅱ）曲线，伸缩变换即：，

代入整理可得：，

故可设，

（其中为辅助角）

∵，∴当，即，

∴