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将所有平面向量组成的集合记作R2,f是从R2到R2的映射,记作
y
=f(
x
)
或(y1,y2)=f(x1,x2),其中x1,x2,y1,y2都是实数.定义映射f的模为:在|
x
|=1的条件下|
y
|的最大值,记做||f||.若存在非零向量
x
R2,及实数λ使得f(
x
)=λ
x
,则称λ为f的一个特征值.
(1)若f(x1,x2)=(
1
2
x1,x2),求||f||;
(2)如果f(x1,x2)=(x1+x2,x1-x2),计算f的特征值,并求相应的
x

(3)若f(x1,x2)=(a1x1+a2x2,b1x1+b2x2),要使f有唯一的特征值,实数a1,a2,b1,b2应满足什么条件?试找出一个映射f,满足以下两个条件:①有唯一的特征值λ,②||f||=|λ|,并验证f满足这两个条件.
(1)由于此时y12+y22=
1
4
x12+x22
又因为是在x12+x22=1的条件下,有y12+y22=
1
4
x12+x22=
1
4
+
3
4
x22
≤1(x2=±1时取最大值),
所以此时有||f||=1;…(4分)
(2)由f(x1,x2)=(x1+x2,x1-x2)=λ(x1,x2),可得:
x1+x2x1
x1-x2x2

解此方程组可得:(λ-1)(λ+1)=1,从而λ=±
2

当λ=
2
时,解方程组
x1+x2=
2
x1
x1-x2=
2
x2
,此时这两个方程是同一个方程,
所以此时方程有无穷多个解,为
x
=m(
2
+1,1)
(写出一个即可),其中m∈R且m≠0.
当λ=-
2
时,同理可得,相应的
x
=m(1-
2
,1)
(写出一个即可),其中m∈R且m≠0.…(9分)
(3)解方程组
a1x1+a2x2x1
b1x1+b2x2x2
,可得x1(a1-λ,b1)+x2(a2,-b1-λ)=0
从而向量(a1-λ,b1)与(a2,-b1-λ)平行,
从而有a1,a2,b1,b2应满足:(a1-b2)2+4a2b1=0
当f(
λ
)=λ
x
时,f有唯一的特征值,且||f||=|λ|.具体证明为:
由f的定义可知:f(x1,x2)=λ(x1,x2),所以λ为特征值.
此时a1=λ,a2=0,b1=0,b2=λ满足:(a1-b2)2+4a2b1=0,所以有唯一的特征值.
x12+x22=1的条件下x1)2+(λx2)22,从而有||f||=|λ|.…(14分)
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x
|=1的条件下|
y
|的最大值,记做||f||.若存在非零向量
x
R2,及实数λ使得f(
x
)=λ
x
,则称λ为f的一个特征值.
(1)若f(x1,x2)=(
1
2
x1,x2),求||f||;
(2)如果f(x1,x2)=(x1+x2,x1-x2),计算f的特征值,并求相应的
x

(3)若f(x1,x2)=(a1x1+a2x2,b1x1+b2x2),要使f有唯一的特征值,实数a1,a2,b1,b2应满足什么条件?试找出一个映射f,满足以下两个条件:①有唯一的特征值λ,②||f||=|λ|,并验证f满足这两个条件.

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(1)若f(x1,x2)=(数学公式x1,x2),求||f||;
(2)如果f(x1,x2)=(x1+x2,x1-x2),计算f的特征值,并求相应的数学公式
(3)若f(x1,x2)=(a1x1+a2x2,b1x1+b2x2),要使f有唯一的特征值,实数a1,a2,b1,b2应满足什么条件?试找出一个映射f,满足以下两个条件:①有唯一的特征值λ,②||f||=|λ|,并验证f满足这两个条件.

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(1)若f(x1,x2)=(x1,x2),求||f||;
(2)如果f(x1,x2)=(x1+x2,x1-x2),计算f的特征值,并求相应的
(3)若f(x1,x2)=(a1x1+a2x2,b1x1+b2x2),要使f有唯一的特征值,实数a1,a2,b1,b2应满足什么条件?试找出一个映射f,满足以下两个条件:①有唯一的特征值λ,②||f||=|λ|,并验证f满足这两个条件.

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(1)若f(x1,x2)=(x1,x2),求||f||;
(2)如果f(x1,x2)=(x1+x2,x1-x2),计算f的特征值,并求相应的
(3)若f(x1,x2)=(a1x1+a2x2,b1x1+b2x2),要使f有唯一的特征值,实数a1,a2,b1,b2应满足什么条件?试找出一个映射f,满足以下两个条件:①有唯一的特征值λ,②||f||=|λ|,并验证f满足这两个条件.

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