Question

（2009•青浦区二模）（文）已知A、B是抛物线y²=4x上的相异两点．
（1）设过点A且斜率为-1的直线l₁，与过点B且斜率为1的直线l₂相交于点P（4，4），求直线AB的斜率；
（2）问题（1）的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线Γ，过该圆锥曲线上的相异两点A、B所作的两条直线l₁、l₂相交于圆锥曲线Γ上一点；结论是关于直线AB的斜率的值．请你对问题（1）作适当推广，并给予解答；
（3）若线段AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点Q（x₀，0）．若x₀＞2，试用x₀表示线段AB中点的横坐标．

Answer 1

分析：（1）根据题意将直线l₁，直线l₂，分别与抛物线方程联立，求得点A，B的坐标，再利用斜率公式可求斜率；
（2）推广：已知抛物线y²=2px上有一定点P，过点P作斜率分别为k、-k的两条直线l₁、l₂，分别交抛物线于A、B两点，试计算直线AB的斜率．再利用（1）的方法求得点A，B的坐标，从而利用斜率公式可求斜率；
（3）先求出线段AB（不平行于y轴）的垂直平分线的方程，再确定其线段AB中点的横坐标．

解答：解：（1）由

x+y-8=0 y2=4x.

解得A（16，-8）；由

x+y=0 y2=4x.

解得B（0，0）．
由点斜式写出两条直线l₁、l₂的方程，l₁：x+y-8=0；l₂：x-y=0，所以直线AB的斜率为-

1

2

． …（4分）
（2）推广：已知抛物线y²=2px上有一定点P，过点P作斜率分别为k、-k的两条直线l₁、l₂，分别交抛物线于A、B两点，试计算直线AB的斜率．
过点P（x₀，y₀），斜率互为相反数的直线可设为y=k（x-x₀）+y₀，y=k（x-x₀）+y₀，其中y₀²=2px₀．
由

y=k(x-x0)+y0 y2=2px

得ky²-2py+2py₀-ky₀²=0，所以A(

( 2p k -y0)2

2p

，

2p

k

-y0)
同理，把上式中k换成-k得B(

( 2p k +y0)2

2p

，-

2p

k

-y0)，所以
当P为原点时直线AB的斜率不存在，当P不为原点时直线AB的斜率为-

p

y0

．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y_i²=4x_i（i=1，2）．               …（13分）
设线段AB的中点是M（x_m，y_m），斜率为k，则k=

y2-y1

x2-x1

=

4

y1+y2

=

2

ym

，…（15分）
线段AB的垂直平分线l的方程为y-ym=-

ym

2

(x-xm)，…（17分）
又点Q（x₀，0）在直线l上，所以-ym=-

ym

2

(x0-xm)，
而y_m≠0，于是x_m=x₀-2．故线段AB中点的横坐标为x₀-2．   …（18分）

点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的综合问题，主要考查直线与抛物线的位置关系，考查斜率公式，有较强的综合性