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已知函数f(x)=1-
2
ax+
a
2
(a>0,a≠1)是定义在R上的奇函数
(1)求a的值;
(2)用定义法证明f(x)在定义域R上单调递增;
(3)解不等式f(x2-2)+f(x)>0.
分析:(1)由f(x)是R上的奇函数,知f(0)=0,解得a的值;
(2)用定义法证明f(x)在定义域上的增减性时,要按照步骤“一取值,二作差,三判正负,四定结论”完成;
(3)由f(x)是奇函数又是增函数,把原不等式转化为一般形式,解得x的取值范围.
解答:解:(1)∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0,即1-
2
a0+
a
2
=0,∴a=2;∴f(x)=1-
2
2x+1

(2)任取x1、x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(1-
2
2x1
)-(1-
2
2x2
)=
2
2x2+1
-
2
2x1+1
=
2(2x1-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)

∵x1<x2,∴2x12x2,∴2x1-2x2<0;又2x1+1>0,2x2+1>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2);
∴f(x)在定义域R上是增函数;
(3)∵f(x)是奇函数,且不等式f(x2-2)+f(x)>0,∴f(x2-2)>f(-x);
又∵f(x)是增函数,∴x2-2>-x,解得x>1或x<-2;
∴原不等式的解集是{x|x>1或x<-2}.
点评:本题考查了定义域为R的奇函数f(0)=0以及用定义法证明函数的增减性问题,利用函数的增减性解答简单的不等式问题,是中档题.
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已知函数f(x)=
1
|x|
,g(x)=1+
x+|x|
2
,若f(x)>g(x),则实数x的取值范围是(  )
A、(-∞,-1)∪(0,1)
B、(-∞,-1)∪(0,
-1+
5
2
)
C、(-1,0)∪(
-1+
5
2
,+∞)
D、(-1,0)∪(0,
-1+
5
2
)

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1,x∈Q
0,x∉Q
,则f[f(π)]=(  )

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1-x
ax
+lnx(a>0)

(1)若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围;
(2)当a=1时,求f(x)在[
1
2
,2
]上的最大值和最小值;
(3)当a=1时,求证对任意大于1的正整数n,lnn>
1
2
+
1
3
+
1
4
+
+
1
n
恒成立.

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π
6
),其中x∈R,则下列结论中正确的是(  )

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