Question

（2012•长春模拟）某学校为了研究学情，从高三年级中抽取了20名学生三次测试的数学成绩和物理成绩，计算出了他们三次成绩的平均名次如下表：

学生序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
数    学	1.3	12.3	25.7	36.7	50.3	67.7	49.0	52.0	40.0	34.3
物    理	2.3	9.7	31.0	22.3	40.0	58.0	39.0	60.7	63.3	42.7
学生序号	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
数    学	78.3	50.0	65.7	66.3	68.0	95.0	90.7	87.7	103.7	86.7
物    理	49.7	46.7	83.3	59.7	50.0	101.3	76.7	86.0	99.7	99.0

学校规定平均名次小于或等于40.0者为优秀，大于40.0者为不优秀．
（1）对名次优秀者赋分2，对名次不优秀者赋分1，从这20名学生中随机抽取2名，用ξ表示这两名学生数学科得分的和，求ξ的分布列和数学期望；
（2）根据这次抽查数据，是否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩优秀与否和数学成绩优秀与否有关系？（下面的临界值表和公式可供参考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析：（1）根据条件ξ的取值为2，3，4，分别求出P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4）．由此能求出ξ的分布列和数学期望Eξ．
（2）根据条件列出列联表，求出K²和P（K²≥5.024）=0.025，因此根据这次抽查数据在犯错误的概率不超过0.025的前提下，可以认为物理成绩优秀与否和数学成绩优秀与否有关系．

解答：解：（1）根据条件ξ的取值为2，3，4，
而且在20人中，数学成绩优秀的6人，不优秀的14人，所以有
P（ξ=2）=

C 2 14

C 2 20

=

91

190

，
P（ξ=3）=

C 1 6 C 1 14

C 2 20

=

84

190

，
P（ξ=4）=

C 2 6

C 2 20

=

15

190

．
所以ξ的分布列为

ξ	2	3	4
P	91 190	84 190	15 190

（6分）
数学期望Eξ=2×

91

190

+3×

84

190

+4×

15

190

=2.6．（8分）
（2）根据条件列出列联表如下：

	物理优秀	物理不优秀	合计
数学优秀	4	2	6
数学不优秀	2	12	14
合计	6	14	20

所以K2=

20×(4×12-2×2)2

(4+2)×(2+12)×(4+2)×(2+12)

≈5.4875＞5.024．
又P（K²≥5.024）=0.025，
因此根据这次抽查数据在犯错误的概率不超过0.025的前提下，
可以认为物理成绩优秀与否和数学成绩优秀与否有关系．（12分）

点评：本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到随机变量的分布列、数学期望的求法和统计案例中独立性检验等知识内容．