Question

已知函数f(x)＝ax²－2x＋1，g(x)＝ln(x＋1)．

(1)求函数y＝g(x)－x在[0,1]上的最小值；

(2)当a≥时，函数t(x)＝f(x)＋g(x)的图像记为曲线C，曲线C在点(0,1)处的切线为l，是否存在a使l与曲线C有且仅有一个公共点？若存在，求出所有a的值；否则，说明理由．

(3)当x≥0时，g(x)≥－f(x)＋恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

解析　(1)y′＝－1，因为0≤x≤1，所以y′≤0.

所以y＝g(x)－x在[0,1]上单调递减．

当x＝1时，y取最小值为ln2－1.

故y＝g(x)－x在[0,1]的最小值为ln2－1.

(2)函数t(x)的定义域为(－1，＋∞)，t′(x)＝2ax－2＋，t′(0)＝－1.

所以在切点P(0,1)处的切线l的斜率为－1.

因此切线方程为y＝－x＋1.

因此切线l与曲线C有唯一的公共点，所以，方程ax²－x＋ln(x＋1)＝0有且只有一个实数解．显然，x＝0是方程的一个解．

令φ(x)＝ax²－x＋ln(x＋1)，则φ′(x)＝2ax－1＋＝.

当a＝时，φ′(x)＝≥0，于是，φ(x)在(－1，＋∞)上单调递增，即x＝0是方程唯一的实数解．

当a>时，由φ′(x)＝0，得x₁＝0，x₂＝－1∈(－1,0)．

在区间(－1，x₂)上，φ′(x)>0，在区间(x_2,0)上，φ′(x)<0.

所以，函数φ(x)在x₂处有极大值φ(x₂)，且φ(x₂)>φ(0)＝0.

而当x→－1时，φ(x)→－∞，因此，φ(x)＝0在(－1，x₂)内也有一个解，矛盾．

综上，得a＝.

(3)令h(x)＝g(x)－＝ln(x＋1)＋ax²－x，

h′(x)＝＋ax－1＝＝(x>－1)．

若a＝0，当x∈[0，＋∞)时，h′(x)≤0，则h(x)在[0，＋∞)上单调递减，故h(x)≤h(0)＝0，不合题意；

若a≥1，当x∈[0，＋∞)时，h′(x)≥0，则h(x)在[0，＋∞)上单调递增，故h(x)≥h(0)＝0，符合题意；

若0<a<1，当x∈时，h′(x)≤0，则h(x)在单调递减，故h()<h(0)＝0，不合题意；

若a<0，当x∈[0，＋∞)时，h′(x)≤0，则h(x)在[0，＋∞)单调递减，故h(1)<h(0)＝0，不合题意．

综上：a的取值范围是a≥1.