(Ⅰ)证明:取DC的中点G,连接EG,FG.
∵点E、F分别是AD、BC的中点.
∴EG,FG分别为△ACD,△BCD的中位线.
故EG⊥CD,FG⊥CD
∵EG∩FG=G.
∴CD⊥平面EFG
∵EF?平面EFG
∴CD⊥EF
可知∠EGF为二面角A-CD-B的平面角,∠EGF=60°.
在△EGF中,EG=2FG,∠EGF=60°,由余弦定理得EF=
FG,
又由正弦定理得∠EFG=90°
∵GF∩CD=G,GF?面BCD
∴EF⊥平面BCD;
(Ⅱ)解:以C为原点,平面BCD为xoy平面,CD为y轴建立空间直角坐标系.
设BD=1,则C(0,0,0),B(1,2,0),D(0,2,0),A(1,0,
)
∴
,
.
平面BCD的法向量
=(0,0,1)
设平面ABD的法向量
=(x,y,z),则
•
=0,
•
=0,
∴
,∴x=0,
,
令z=1,
=
∴
∴二面角A-BD-C的余弦值为
.
分析:(Ⅰ)取DC的中点G,连接EG,FG,证明CD⊥平面EFG,可得∠EGF为二面角A-CD-B的平面角,在△EGF中,由余弦定理得EF=
FG,从而可得∠EFG=90°,进而可知EF⊥平面BCD;
(Ⅱ)建立空间直角坐标系,用坐标表示点与向量,求出平面BCD的法向量
=(0,0,1),平面ABD的法向量
=
,利用向量的夹角公式,即可求二面角A-BD-C的余弦值.
点评:本题考查线面垂直,考查面面角,解题的关键是掌握线面垂直的判定方法,正确运用向量法解决面面角问题.