【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若且,求证: .
【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)对函数求导,然后分类讨论若时、时和时三种情况,分别给出单调性(2)法一:构造,求导算出最值,构造,利用二阶导数,得,从而得证;法二:利用放缩法当时,得,即,然后再证明;法三:对问题放缩由于,则只需证明,然后给出证明
解析:解法一:(1)函数的定义域为,
,
①若时,则, 在上单调递减;
②若时,当时, ;
当时, ;
当时, .
故在上, 单调递减;在上, 单调递増;
③若时,当时, ;
当时, ;当时, .
故在上, 单调递减;在上, 单调递増.
(2)若且,
欲证,
只需证,
即证.
设函数,则.
当时, .故函数在上单调递增.
所以.
设函数,则.
设函数,则.
当时, ,
故存在,使得,
从而函数在上单调递增;在上单调递减.
当时, ,当时,
故存在,使得,
即当时, ,当时,
从而函数在上单调递增;在上单调递减.
因为,
故当时,
所以,
即.
解法二:(1)同解法一.
(2)若且,
欲证,
只需证,
即证.
设函数,则.
当时, .故函数在上单调递增.
所以.
设函数,
因为,所以,所以,
又,所以,
所以,
即原不等式成立.
解法三:(1)同解法一.
(2)若且,
欲证,
只需证,
由于,则只需证明,
只需证明,令,
则,
则函数在上单调递减,则,
所以成立,
即原不等式成立.
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【题目】某学校举行了一次安全教育知识竞赛,竞赛的原始成绩采用百分制.已知高三学生的原始成绩均分布在内,发布成绩使用等级制,各等级划分标准见表.
原始成绩 | 85分及以上 | 70分到84分 | 60分到69分 | 60分以下 |
等级 | 优秀 | 良好 | 及格 | 不及格 |
为了解该校高三年级学生安全教育学习情况,从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计,按照的分组作出频率分布直方图如图所示,其中等级为不及格的有5人,优秀的有3人.
(1)求和频率分布直方图中的的值;
(2)根据样本估计总体的思想,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,若在该校高三学生中任选3人,求至少有1人成绩是及格以上等级的概率;
(3)在选取的样本中,从原始成绩在80分以上的学生中随机抽取3名学生进行学习经验介绍,记表示抽取的3名学生中优秀等级的学生人数,求随机变量的分布列及数学期望.
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【题目】已知定义在R上的函数f(x)满足:对任意都有,且当x>0时,.
(1)求的值,并证明为奇函数;
(2)判断函数的单调性,并证明;
(3)若对任意恒成立,求实数的取值范围.
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【题目】已知抛物线上点处的切线方程为.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)设和为抛物线上的两个动点,其中且,线段的垂直平分线与轴交于点,求面积的最大值.
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【题目】已知椭圆的离心率为,点在椭圆上.
()求椭圆的方程.
()设动直线与椭圆有且仅有一个公共点,判断是否存在以原点为圆心的圆,满足此圆与相交于两点, (两点均不在坐标轴上),且使得直线、的斜率之积为定值?若存在,求此圆的方程;若不存在,说明理由.
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【题目】为了调查观众对电视剧《风筝》的喜爱程度,某电视台举办了一次现场调查活动.在参加此活动的甲、乙两地观众中,各随机抽取了8名观众对该电视剧评分做调查(满分100分),被抽取的观众的评分结果如图所示
(Ⅰ)计算:①甲地被抽取的观众评分的中位数;
②乙地被抽取的观众评分的极差;
(Ⅱ)用频率估计概率,若从乙地的所有观众中再随机抽取4人进行评分调查,记抽取的4人评分不低于90分的人数为,求的分布列与期望;
(Ⅲ)从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人,在已知两人中至少一人评分不低于90分的条件下,求乙地被抽取的观众评分低于90分的概率.
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【题目】某市小型机动车驾照“科二”考试中共有5项考查项目,分别记作①,②,③,④,⑤.
(1)某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计(如表所示),并计算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测(只测不合格的项目),求补测项目种类不超过3()项的概率.
(2)“科二”考试中,学员需缴纳150元的报名费,并进行1轮测试(按①,②,③,④,⑤的顺序进行);如果某项目不合格,可免费再进行1轮补测;若第1轮补测中仍有不合格的项目,可选择“是否补考”;若补考则需缴纳300元补考费,并获得最多2轮补测机会,否则考试结束;每1轮补测都按①,②,③,④,⑤的顺序进行,学员在任何1轮测试或补测中5个项目均合格,方可通过“科二”考试,每人最多只能补考1次,某学院每轮测试或补考通过①,②,③,④,⑤各项测试的概率依次为,且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考.
①求该学员能通过“科二”考试的概率;
②求该学员缴纳的考试费用的数学期望.
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