Question

设f（x）是定义在[a，b]上的函数，用分点T：a=x₀＜x₁＜…＜x _i﹣1＜x_i＜…x_n=b
将区间[a，b]任意划分成n个小区间，
如果存在一个常数M＞0，使得
和≤M（i=1，2，…，n）恒成立，
则称f（x）为[a，b]上的有界变差函数．
（1）函数f（x）=x²在[0，1]上是否为有界变差函数？请说明理由；
（2）设函数f（x）是[a，b]上的单调递减函数，证明：f（x）为[a，b]上的有界变差函数；
（3）若定义在[a，b]上的函数f（x）满足：存在常数k，使得对于任意的x₁、x₂∈[a，b]时，|f（x₁）﹣f（x₂）|≤k|x₁﹣x₂|．证明：f（x）为[a，b]上的有界变差函数．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=x²在[0，1]上是增函数
∴对任意划分T，f（x_n）＞f（x _n﹣1）|f（x_i）﹣f（x _i﹣1）|
                                       =f（x₁）﹣f（x₀）+…+f（x_n）﹣f（x_n﹣1）
                                       =f（1）﹣f（0）=1
取常数M≥1，则和式（i=1，2，3…n）恒成立
所以函数f（x）在[0，1]是有界变差函数
（2）∵函数f（x）是[a，b]上的单调递减函数任意的划分T，
a=x₀＜x₁＜…＜x _i﹣1＜x_i＜…＜x_n=b
∴=f（x₀）-f（x₁）+ f（x₁）-f（x₂）+...+f（x _n-1）-f（x_n）
                              =f（a）- f（b）
∴一定存在一个常数M＞0，使f（a）﹣f（b）≤M
故f（x）为[a，b]上有界变差函数
（3）∵|f（x₁）﹣f（x₂）|≤k|x₁﹣x₂|
∴对任意的划分T，a=x₀＜x₁＜…＜x _i﹣1＜x _i＜…＜x_n
                                    =b
                                    ==k（b﹣a）
取常数M=k（b﹣a）f（x）为有界变差函数．