Question

阅读材料：某同学求解sin18°的值其过程为：设α=18°，则5α=90°，从而3α=90°-2α，于是cos3α=cos（90°-2α），即cos3α=sin2α，展开得4cos³α-3cosα=2sinαcosα，∴cosα=cos18°≠0，∴4cos²α-3=2sinα，化简，得4sin²α+2sinα-1=0，解得sinα=

-1± 5

4

，∵sinα=sin18°∈（0，1），∴sinα=

-1+ 5

4

（sinα=

-1- 5

4

＜0舍去），即sin18°=

-1+ 5

4

．试完成以下填空：设函数f（x）=ax³+1对任意x∈[-1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为

4

．

Answer 1

分析：先求出f′（x）=0时x的值，进而讨论函数的增减性得到f（x）的最小值，对于任意的x∈[-1，1]都有f（x）≥0成立，可转化为最小值大于等于0即可求出a的范围．

解答：解：由题意，f′（x）=3ax²-3，
当a≤0时3ax²-3＜0，函数是减函数，f（0）=1，只需f（1）≥0即可，解得a≥2，与已知矛盾，
当a＞0时，令f′（x）=3ax²-3=0解得x=±

a

a

，
①当x＜-

a

a

时，f′（x）＞0，f（x）为递增函数，
②当-

a

a

＜x＜

a

a

时，f′（x）＜0，f（x）为递减函数，
③当x＞

a

a

时，f（x）为递增函数．
所以f（

a

a

）≥0，且f（-1）≥0，且f（1）≥0即可
由f（

a

a

）≥0，即a•（

a

a

）3-3•

a

a

+1≥0，解得a≥4，
由f（-1）≥0，可得a≤4，
由f（1）≥0解得2≤a≤4，
综上a=4为所求．
故答案为：4．

点评：本题以函数为载体，考查学生解决函数恒成立的能力，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．