Question

   在直三棱柱中，=2 ,.点分别是 ,的中点，是棱上的动点.

（I）求证：平面；

(II)若//平面，试确定点的位置，

并给出证明；

(III)求二面角的余弦值.

【

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】本题考查了线面平行与垂直及二面角的求法。第一问抓住线面垂直的判定定理须证，；第二问先说明是棱的中点，再,取的中点H，证明四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理得证；第三问利用法向量求二面角的余弦值，要注意法向量的准确求解和余弦值的正负。

解： (I) 证明：∵在直三棱柱中，，点是的中点，

∴   …………………………1分

,, 

∴⊥平面 ………………………2分

平面

∴，即 …………………3分

又

∴平面      …………………………………4分

  （II）当是棱的中点时，//平面.……………………………5分

证明如下:

连结,取的中点H，连接,

则为的中位线 

∴∥，…………………6分

∵由已知条件，为正方形

∴∥，

∵为的中点，

∴                                       ……………………7分

∴∥，且

∴四边形为平行四边形

∴∥

又  ∵          

∴//平面                                    ……………………8分

 

(III) ∵ 直三棱柱且

依题意，如图：以为原点建立空间直角坐标系，……………………9分

,,,,

则，

设平面的法向量，

则,即，

令，有                             ……………………10分

又平面的法向量为，

==，                    ……………………11分

设二面角的平面角为，且为锐角

．                       ……………………12分.