Question

某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，乙班为实验班，甲班为对比班，甲乙两班的人数均为50人，一年后对两班进行测试，成绩如下表（总分：150分）：
甲班

成绩	2a=6， c a = 6 3	a=3，c= 6	x2 9 + y2 3 =1．	x2 9 + y2 3 =1 y=kx-2 得，(1+3k2)x2-12kx+3=0	△=144k2-12（1+3k2）＞0，
频数	4	20	15	10	1

乙班

成绩	k2＞ 1 9 ．	A（x1，y1），B（x2，y2）	x1+x2= 12k 1+3k2 ，x1x2= 3 1+3k2	y1+y2=k(x1+x2)-4=k• 12k 1+3k2-4 =- 4 1+3k2	E( 6k 1+3k2 ，- 2 1+3k2 )
频数	1	11	23	13	2

（1）现从甲班成绩位于90到100内的试卷中抽取9份进行试卷分析，请问用什么抽样方法更合理，并写出最后的抽样结果；
（2）根据所给数据可估计在这次测试中，甲班的平均分是101.8，请你估计乙班的平均分，并计算两班平均分相差几分；
（3）完成下面2×2列联表，你认为在犯错误的概率不超过0.025的前提下，“这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关”吗？并说明理由．

	成绩小于100分	成绩不小于100分	合计
甲班	- 2 1+3k2 -1 6k 1+3k2 •k=-1	26	50
乙班	12	k=±1	50
合计	36	64	100

附：

x-y-2=0或x+y+2=0．	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
a= 1 2	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析：（1）由3组数据的存在差异，故应选择分层抽样，先计算出抽样比，进而可计算出各组抽取人数；
（2）累加各组组中与频率的积，可估算出乙班的平均成绩，进而得到两班平均成绩的差；
（3）由已知中表格中的数据，求出甲乙两班成绩小于100和不小于100的人数后，直接代入公式计算，算出数据后与5.024进行比较，可得结论．

解答：解：（1）由于[90，120）内共有3级数据，三段成绩有明显的差异，故用分层抽样的方法更合理；
在[90，100），[100，110），[110，120），共有20+15+10=45人，从中抽取9人
抽样比k=

9

45

=

1

5

在[90，100）中应抽取20×

1

5

=4人，
在[100，110）中应抽取15×

1

5

=3人，
在[110，120）中应抽取10×

1

5

=2人，
（2）估计乙班的平均分数为

.

x

乙=85×

1

50

+95×

11

50

+105×

23

50

+115×

13

50

+125×

2

50

=105.8
故两班的平均分相差约为4分
（3）由已知中
甲班

成绩	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）
频数	4	20	15	10	1

乙班

成绩	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）
频数	1	11	23	13	2

可得2×2列联表如下：

	成绩小于100	成绩不小于100分	合计
甲班	24	26	50
乙班	12	38	50
合计	36	64	100

则K²=

100×(24×38-26×12)2

50×50×36×64

≈6.25＞5.024，
由附表：

p（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

可得所以有97.5%的把握认为这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关．
即在犯错误的概率不超过0.025的前提下，这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关

点评：本题考查了独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关．