【题目】为美化城市环境,相关部门需对一半圆形中心广场进行改造出新,为保障市民安全,施工队对广场进行围挡施工.如图,围挡经过直径的两端点A,B及圆周上两点C,D围成一个多边形ABPQR,其中AR,RQ,QP,PB分别与半圆相切于点A,D,C,B.已知该半圆半径OA长30米,∠COD为60°,设∠BOC为.
(1)求围挡内部四边形OCQD的面积;
(2)为减少对市民出行的影响,围挡部分面积要尽可能小.求该围挡内部多边形ABPQR面积的最小值?并写出此时的值.
【答案】(1)(2)围挡内部多边形ABPQR面积的最小值为900平方米,此时
【解析】
(1)连接将四边形变为两个全等的直角三角形,求得的长度后可计算得面积.(2)根据(1)的方法,求得多边形的面积,求得总面积的表达式,利用换元法以及基本不等式求得多边形面积的最小值以及此时的值.
解:
(1)连接OQ,因为QD,QC为圆O的切线,所以QD=QC,OD=OC=30,
OQ=OQ,所以△ODQ≌△OCQ,所以∠DOQ=∠COQ=30°,
又因为OD⊥DQ,所以=tan30°=,所以DQ=10,
所以S△ODQ=OD·DQ=150,所以SOCQD=2S△ODQ =300;
即围挡内部四边形OCQD的面积为300平方米;
(2)BP=OB tan,SOBPC=2S△OBP=900 tan,同理SOARD=2S△OAR=900 tan(-),
SABPQR=900[tan+ tan(-)]+300,
即求 tan+ tan(-)的最小值,
tan+ tan(-)= tan+=(*)
令,由得x(1,4)
则(*)=≥,当且仅当x=2时取等号,此时,
故Smin=900×+300=900,
答:围挡内部多边形ABPQR面积的最小值为900平方米,此时
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【题目】某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( ).
A. 90B. 75C. 60D. 45
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【题目】已知直线:与抛物线切于点,直线:过定点Q,且抛物线上的点到点Q的距离与其到准线距离之和的最小值为.
(1)求抛物线的方程及点的坐标;
(2)设直线与抛物线交于(异于点P)两个不同的点A、B,直线PA,PB的斜率分别为,那么是否存在实数,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】某商场在促销期间规定:商场内所有商品按标价的80%出售,同时当顾客在该商场内消费满一定金额后,按如下方案获得相应金额的奖券:
消费金额(元)的范围 | …… | ||||
获得奖券的金额(元) | 28 | 58 | 88 | 128 | …… |
根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如:购买标价为400元的商品,则消费金额为320元,然后还能获得对应的奖券金额为28元.于是,该顾客获得的优惠额为:元.设购买商品得到的优惠率.试问:
(1)购买一件标价为1000元的商品,顾客得到的优惠率是多少?
(2)当商品的标价为元时,试写出顾客得到的优惠率y关于标价x元之间的函数关系式;
(3)当顾客购买标价不超过600元的商品时,该顾客是否可以得到超过30%的优惠率?试说明理由.
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【题目】已知圆的任意一条切线l与椭圆都有两个不同交点A,B(O是坐标原点)
(1)求圆O半径r的取值范围;
(2)是否存在圆O,使得恒成立?若存在,求出圆O的方程及的最大值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知函数,其中为实数.
(1)试确定函数的奇偶性;
(2)若函数在区间上单调递增,求的取值范围;
(3)若函数在区间上有唯一的零点,求的取值范围.
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