Question

已知函数，是函数y=f（x）的极值点．
（I）求实数a的值；
（II）若方程f（x）-m=0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求导函数f′（x），根据极值的定义可知，建立等式关系，解之即可；
（II）先根据函数的单调性研究出函数在（0，+∞）上的值域，然后要使方程f（x）-m=0有两不相等的实数根，即函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点，讨论b与0的大小，结合图象进行求解即可．
解答：解：（I）x＞0时，f（x）=（x²-2ax）e^x
∴f′（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax）e^x=[x²+2（1-a）x-2a]e^x（2分）
由已知，，
∴，
∴，得a=1
（II）由（I）x＞0时，f（x）=（x²-2x）e^x，
∴f′（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x）e^x=（x²-2）e^x
令f'（x）=0得x=（x=-舍去）
当x＞0时

所以，当时，f（x）单调递减，
当x∈时，f（x）单调递减，f（x）∈
∴x＞0时，f（x）∈
要使方程f（x）-m=0有两不相等的实数根，即函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点．
（1）当b＞0时，m=0或
（2）当b=0时，m∈
（3）当b＜0时，m
点评：本题主要考查函数与导数的基本知识，几何意义及其应用，同时考查学生分类讨论思想、函数与方程思想、数形结合思想以及转化与归化的能力．