Question

已知函数y=x+

t

x

有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在（0，

t

]上是减函数，在[

t

，+∞）上是增函数．
（1）若f（x）=x+

a

x

，函数在（0，a]上的最小值为4，求a的值；
（2）对于（1）中的函数在区间A上的值域是[4，5]，求区间长度最大的A（注：区间长度=区间的右端点-区间的左断点）；
（3）若（1）中函数的定义域是[2，+∞）解不等式f（a²-a）≥f（2a+4）．

Answer 1

分析：（1）利用性质，讨论

a

与区间（0，a]的关系，从而利用最小值是4，建立条件关系．
（2）根据值域为[4，5]，确定对应的变量x，然后判断最大的区间．
（3）利用函数的单调性，解不等式即可．

解答：解：（1）由题意的：函数f（x）在(0，

a

]上单调递减，在[

a

，+∞)上单调递增，
当a＞

a

时，即a＞1时函数在x=

a

处取得最小值，
∴f（

a

）=2

a

=4，解得a=4，
当a＜

a

时，即0＜a＜1时，函数在x=a处取得最小值，
∴f（a）=a+1=4，解得a=3不符合题意，舍去．
综上可得 a=4．
（2）由（1）得f（x）=x+

4

x

，又x=2时函数取得最小值4，
令x+

4

x

=5，则x²-5x+4=0，解得 x=1或 x=4，
又2∈[1，4]，
∴区间长度最大的A=[1，4]．
（3）由（1）知函数在[2，+∞）上单调递增，
∴原不等式等价于

a2-a≥2 2a+4≥2 2a+4≤a2-a

，
解得a≥4或a=-1，
∴不等式的解集{a|a≥4或a=-1}．

点评：本题主要考查函数单调性的应用，考查学生的理解和应用能力．