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18、设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R.
(Ⅰ)若f(x)是偶函数,试求a的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求f(x)的最小值;
(Ⅲ)王小平同学认为:无论a取何实数,函数f(x)都不可能是奇函数.
你同意他的观点吗?请说明理由.
分析:(Ⅰ)根据偶函数的定义即f(-x)=f(x),列出方程进行化简整理,求出a的值;
(Ⅱ)根据(Ⅰ)求出函数解析式,观察得x2≥0,|x|≥0,则f(x)≥1,即求出函数的最小值;(Ⅲ)先判断观点是正确的,再通过奇函数的定义即f(-x)=-f(x),进行证明.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x)在R上恒成立,
即(-x)2+|-x-a|+1=x2+|x-a|+1,
化简整理,得ax=0在R上恒成立,∴a=0.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a=0,∴f(x)=x2+|x|+1,
∵x2≥0,|x|≥0,∴f(x)≥1,当且仅当x=0时,f(x)=1,
∴当x=0时,f(x)的最小值为1.
(Ⅲ)王小平同学的观点是正确的.
若f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x)在R上恒成立,
∴f(0)=-f(0),∴f(0)=0,
但无论a取何实数,f(0)=|a|+1>0,
∴f(x)不可能是奇函数.
点评:本题考查了函数奇偶性的应用,利用奇(偶)函数的定义进行求值、判断以及证明,求函数的最值可根据解析式的特点直接进行求解.
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