Question

在△ABC中，

AB

•

AC

=0．
（1）若P是△ABC所在平面上一点，且|

AP

|=2，∠CAP为锐角，

AP

•

AC

=2

AP

•

AB

=2，求|

AB

+

AC

+

AP

|的最小值．
（2）满足条件（1）的点P能否在△ABC的边BC上？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）设∠CAP=α，可得∠BAP=

π

2

-α，结合

AP

•

AC

=2

AP

•

AB

=2且|

AP

|=2，可得|

AC

|=

1

cosα

，|

AB

|=

1

2sinα

．利用向量模的性质，可得|

AB

+

AC

+

AP

|²的表达式，再利用基本不等式即可算出|

AB

+

AC

+

AP

|的最小值．
（2）由（1）中|

AC

|=

1

cosα

且|

AB

|=

1

2sinα

，可求出直线AB的方程含有参数α的形式，再将P点坐标代入直线方程加以验证，即可得到结论是否成立．

解答：解：（1）∵△ABC中，

AB

•

AC

=0，∴

AB

⊥

AC

设∠CAP=α，α∈（0，

π

2

），则∠BAP=

π

2

-α，
又∵

AP

•

AC

=2

AP

•

AB

=2，|

AP

|=2，
∴|

AP

|•|

AC

|cosα=2|

AP

|•|

AB

|cos（

π

2

-α）=2，可得|

AC

|=

1

cosα

，|

AB

|=

1

2sinα

，
因此，|

AB

+

AC

+

AP

|²=|

AB

|2+|

AC

|2+|

AP

|2+2

AB

•

AC

+2

AP

•AB

+2

AC

•

AP

=

1

4sin2α

+

1

cos2α

+10=

sin2α

cos2α

+

cos2α

4sin2α

+

45

4

≥

49

4

故|

AB

+

AC

+

AP

|的最小值为

7

2

（2）满足条件（1）的点P不能在△ABC的边BC上，理由如下：
以C为坐标原点，分别以AC、AB为x、y轴正方向建立坐标系，
由（1）中|

AC

|=

1

cosα

，|

AB

|=

1

2sinα

，
可得直线AB的方程的方程为xcosα+2ysinα=1
又∵|

AP

|=2，∠CAP=α，
故P点坐标为（2cosα，2sinα），
将P代入AB的方程得2cos²α+4sin²α=2+2sin²α＞1，矛盾
故P点不在△ABC的边BC上

点评：本题给出向量关系式，求动点的轨迹方程并讨论模的最小值和点P位置等问题．着重考查了向量的模、基本不等式和点与直线的关系等知识点，属于难题．