Question

13．已知△ABC中，AB=AC，以点B为圆心，以BC为半径的圆分别交AB，AC于D，E两点，且EF为该圆的直径．
（1）求证：∠A=2∠F；
（2）若AE=$\frac{1}{2}$EC=1，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形以及圆周角与圆心角的关系，推出∠A=∠EBC=2∠F．
（2）通过△ABC∽△BEC，直接求解即可．

解答 解：（1）因为AC=AB，所以∠ABC=∠ACB，
又因为BC=BE，所以∠BEC=∠ECB，所以∠BEC=∠ABC，
所以∠A=∠EBC=2∠F．（5分）
（2）由（1）可知△ABC∽△BEC，
从而$\frac{EC}{BC}=\frac{BC}{AC}$，由AE=1，EC=2，AC=3，
得$BC=\sqrt{6}$．（10分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，三角形相似的证明，考查计算能力．