Question

【题目】某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：
（Ⅰ）依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；
（Ⅱ）在某场比赛中，考察他前4次投篮命中到篮筐中心的水平距离的情况，并且规定：运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离不少于4米的记1分，否则扣掉1分．用随机变量X表示第4次投篮后的总分，将频率视为概率，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

【答案】解：（I） 设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为x，
∵0.05×2+0.10+0.20＜0.5，且（0.40+0.20）×1=0.6＞0.5，
∴x∈[4，5]
由0.40×（5﹣x）+0.20×1=0.5，解得x=4.25，
∴该运动员到篮筐的水平距离的中位数是4.25（米）．
（Ⅱ）由频率分布直方图得投篮命中时距离篮筐距离超过4米的概率为p= ，
随机变量ξ的所有可能取值为﹣4，﹣2，0，2，4，
，
，
，
，
，
，
∴X的分布列为：

X	﹣4	﹣2	0	2	4
P

EX=（﹣4）× +（﹣2）× +0× +2× +4× =
【解析】（I） 设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为x，推导出0.40×（5﹣x）+0.20×1=0.5，由此能求出该运动员到篮筐的水平距离的中位数．（Ⅱ）由频率分布直方图得投篮命中时距离篮筐距离超过4米的概率为p= ，随机变量ξ的所有可能取值为﹣4，﹣2，0，2，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．
【考点精析】解答此题的关键在于理解离散型随机变量及其分布列的相关知识，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．