Question

1．在满足极坐标和直角坐标互化条件下，极坐标方程ρ²=$\frac{12}{3co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$经过直角坐标系下的伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{2}x}\\{y′=\frac{\sqrt{3}}{3}y}\end{array}\right.$后，得到的曲线是（　　）

• A． 直线
• B． 椭圆
• C． 双曲线
• D． 圆

Answer 1

分析 先把极坐标方程化为直角坐标方程，再经过直角坐标系下的伸缩变换，把直角坐标方程中的x，y分别换成得$2{x}^{'}，\sqrt{3}{y}^{'}$，由此能求出结果．

解答 解：∵极坐标方程ρ²=$\frac{12}{3co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$，
∴3ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=12，
∴直角坐标方程为：3x²+4y²=12，
即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
∴经过直角坐标系下的伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{2}x}\\{y′=\frac{\sqrt{3}}{3}y}\end{array}\right.$后，
得到的曲线方程为$\frac{（2{x}^{'}）^{2}}{4}+\frac{（\sqrt{3}{y}^{'}）^{2}}{3}$=12，即x^'2+y^'2=12，
∴得到的曲线是圆．
故选：D．

点评 本题考查曲线形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程和直角坐标系下的伸缩变换公式的合理运用．