Question

已知函数f（x）=e^x+4x-3．
（Ⅰ）求证函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的零点，并用二分法求函数f（x）零点的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e≈2.7，

e

≈1.6，e^0.25≈1.3，e^0.375≈1.45）；
（Ⅱ）当x≥1时，若关于x的不等式f（x）≥ax恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：对第（Ⅰ）问要先根据题意判断函数在相应区间上的单调性，再有端点的函数值对比即可获得解的唯一性，然后再根据二分法的步骤逐次进行范围缩小，再结合所给信息即可获得问题的解答；
对第（Ⅱ）首先将恒成立问题游离参数，转化为求函数g(x)=

ex+4x-3

x

的最小值问题即可．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=e^x+4x-3，得f′（x）=e^x+4＞0，
f（x）在[0，1]上单调递增，
∵f（0）=-2，f（1）=e+1＞0，f（0）•f（1）＜00，
∴f（x）在[0，1]上存在唯一零点，
取区间[0，1]作为起始区间，用二分法逐次计算如下

由上表可知区间[0.25，0.5]的长度为0.25，所以该区间的中点x₂=0.375，到区间端点距离小于0.2，因此可作为误差不超过0.2的一个零点的近似值．
∴函数f（x）零点的近似值x≈0.375
（Ⅱ）当x≥1时，由f（x）≥ax，即a≤

ex+4x-3

x

，
令g(x)=

ex+4x-3

x

则g′(x)=

ex(x-1)+3

x2

∵x≥1，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴g（x）_min=g（1）=e+1，
∴a的取值范围是a≤e+1．

点评：此题考查的是二分法求方程的近似解和恒成立的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了数形结合的思想、二分法的思想、恒成立的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．