Question

如图，直三棱柱A₁B₁C₁—ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB． D、E分别为棱C₁C、B₁C₁的中点．

       （1）求与平面A₁C₁CA所成角的大小；

       （2）求二面角B—A₁D—A的大小；

       （3）点F是线段AC的中点，证明：EF⊥平面A₁BD．

Answer 1

解：（1）连接A₁C．∵A₁B₁C₁－ABC为直三棱柱，∴CC₁⊥底面ABC，∴CC₁⊥BC．

       ∵AC⊥CB，∴BC⊥平面A₁C₁CA．  ………………1分

       ∴为与平面A₁C₁CA所成角，

．

∴与平面A₁C₁CA所成角为．                              ………3分

（2）分别延长AC，A₁D交于G． 过C作CM⊥A₁G 于M，连结BM，

       ∵BC⊥平面ACC­₁A₁，∴CM为BM在平面A₁C₁CA内的射影，

       ∴BM⊥A₁G，∴∠CMB为二面角B—A₁D—A的平面角，       ………………………5分

       平面A₁C₁CA中，C₁C=CA=2，D为C₁C的中点，

       ∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，，．   ……7分

       即二面角B—A₁D—A的大小为．                    ……………………8分

（3）证明：∵A₁B₁C₁—ABC为直三棱柱，∴B₁C₁//BC，

∵由（Ⅰ）BC⊥平面A₁C₁CA，∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA，

∵EF在平面A₁C₁CA内的射影为C₁F，∵F为AC中点，

∴C₁F⊥A₁D，∴EF⊥A₁D．                                ……………………11分

同理可证EF⊥BD，∴EF⊥平面A₁BD．                     ……………………12分

解法二：

（1）同解法一……………………3分

（2）∵A₁B₁C₁—ABC为直三棱柱，C₁C=CB=CA=2，

AC⊥CB，D、E分别为C₁C、B₁C₁的中点．

建立如图所示的坐标系得：

C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），

C₁（0，0，2）， B₁（2，0，2）， A­₁（0，2，2），

D（0，0，1）， E（1，0，2）．                                ………………6分

，设平面A₁BD的法向量为，

  ．        …………6分

平面ACC₁A₁­的法向量为=（1，0，0），．     ………7分

即二面角B—A₁D—A的大小为．                   …………………8分

（3）证明：∵F为AC的中点，∴F（0，1，0），．      ……10分

由（Ⅱ）知平面A₁BD的一个法向量为，∴//n ．         ……11分

EF⊥平面A₁BD．                               ………………………………12分