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有下列命题:
①x=0是函数y=x3的极值点;
②三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有极值点的充要条件是b2-3ac>0;
③奇函数f(x)=mx3+(m-1)x2+48(m-2)x+n在区间(-4,4)上是单调减函数;
④若函数g(x)=(x-1)(x-2)…(x-2009)(x-2010),则g′(2010)=2009.
其中真命题的个数有(  )
分析:①利用极值的定义去判断.②利用函数取得极值的充要条件进行判断.
③利用奇函数的定义先确定m的值,然后利用导数研究函数的单调性.④利用导数公式进行求值.
解答:解:①因为函数的导数f'(x)=3x2≥0,即函数y=x3单调递增,所以函数无极值,所以①错误.
②三次函数的导数为f'(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),要使函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有极值点,则f'(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),有变号零点,
所以△>0,即4b2-4×3ac>0,即b2-3ac>0,所以②正确.
③因为f(x)=mx3+(m-1)x2+48(m-2)x+n为奇函数,所以m-1=0且n=0,所以m=1且n=0,所以函数f(x)=x3-48x.
f'(x)=3x2-48=3(x2-16),当x∈(-4,4)时,f'(x)<0,此时函数单调递减,所以③正确.
④g(x)=(x-1)(x-2)…(x-2009)(x-2010)=[(x-1)(x-2)…(x-2009)](x-2010),
所以g'(x)=[(x-1)(x-2)…(x-2009)]'(x-2010)+[(x-1)(x-2)…(x-2009)],
所以g′(2010)=2009×2008×…×1=2009!所以④正确.
故选D.
点评:本题主要考查命题的真假判断以及利用导数研究函数的性质,综合性较强,运算量较大.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

14、有下列命题:①x=0是函数y=x3的极值点;
②三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有极值点的充要条件是b2-3ac>0;
③奇函数f(x)=mx3+(m-1)x2+48(m-2)x+n在区间(-4,4)上是单调减函数.
其中假命题的序号是

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•成都二模)对于定义在区间D上的函数f(x),若满足对?x1,x2∈D,且x1<x2时都有 f(x1)≥f(x2),则称函数f(x)为区间D上的“非增函数”.若f(x)为区间[0,1]上的“非增函数”且f(0)=l,f(x)+f(l-x)=l,又当x∈[0,
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]
时,f(x)≤-2x+1恒成立.有下列命题:
①?x∈[0,1],f(x)≥0;
②当x1,x2∈[0,1]且x1≠x2,时,f(x1)≠f(x)
?x∈[
1
4
3
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]
时,都有f(x)=
1
2

④函数f(x)的图象关于点(
1
2
1
2
)
对称
其中你认为正确的所有命题的序号为
①③④
①③④

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•成都二模)对于定义在区间D上的函数f(x),若满足对?x1,x2∈D,且x1<x2时都有 f(x1)≥f(x2),则称函数f(x)为区间D上的“非增函数”.若f(x)为区间[0,1]上的“非增函数”且f(0)=l,f(x)+f(l-x)=l,又当x∈[0,
1
4
]时,f(x)≤-2x+1恒成立.有下列命题:
①?x∈[0,1],f(x)≥0;
②当x1,x2∈[0,1]且x1≠x2,时,f(x1)≠f(x)
③f(
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)+f(
5
11
)+f(
7
13
)+f(
7
8
)=2;
④当x∈[0,
1
4
]时,f(f(x))≤f(x).
其中你认为正确的所有命题的序号为
①③④
①③④

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科目:高中数学 来源:北京市宣武区2010年高三第一次质量检测数学(文)试题 题型:填空题

有下列命题:

x=0是函数的极值点;

②三次函数有极值点的充要条件是

③奇函数在区间(-4,4)上是单调减函数.

其中假命题的序号是           .

 

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