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用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2∶1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?

解:设长方体的宽为x m,则长为2x m,高为h==(4.5-3x)(m)(0<x<).

故长方体的体积为V(x)=2x2(4.5-3x)=9x2-6x3(m3)(0<x<).从而V′(x)=18x-18x2=18x(1-x).

令V′(x)=0,解得x=0(舍去)或x=1,因此x=1.当0<x<1时,V′(x)>0;

当1<x<时,V′(x)<0.故在x=1处V(x)取得极大值,并且这个极大值就是V(x)的最大值.

从而最大体积V=V(1)=9×12-6×13=3(m3),此时长方体的长为2 m,高为1.5 m.

答:当长方体的长为2 m,宽为1 m,高为1.5 m时,体积最大,最大体积为3 m3.

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20.用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?

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