Question

设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

)，给出以下四个论断：
①它的图象关于直线x=

π

12

对称；     
②它的图象关于点(

π

3

，0)对称；
③它的周期是π；                   
④在区间[0，

π

6

)上是增函数．
以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的命题：
条件

①③

结论

②

；（用序号表示）

Answer 1

分析：先由③知ω=2，再由对称轴，可得函数解析式，然后判断对称性和单调性是否成立即可．

解答：解：若③函数的周期是π，则可得ω=2，
所以f（x）=sin（2x+φ），
若①图象关于直线x=

π

12

对称，则2×

π

12

+φ=kπ+

π

2

，解得φ=kπ+

π

3

，
因为-

π

2

＜φ＜

π

2

，所以φ=

π

3

．
所以f(x)=sin(2x+

π

3

)，
由2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，
即函数单调区间[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈z），
因为当k=0时，单调区间为[-

5π

12

，

π

12

]．
所以在区间[0，

π

6

)上函数不是增函数，所以④不正确．
当x=

π

3

时，f(

π

3

)=sin?(2×

π

3

+

π

3

)=sin?π=0，所以它的图象关于点(

π

3

，0)对称，所以②正确．
所以①③⇒②．
故答案为：条件①③，结论②．

点评：本题主要考查三角函数的性质，考查学生分析问题的能力，综合性较强．