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在实数集R上定义运算?:x?y=(x+a)(1-y),若f(x)=x2,g(x)=x,若F(x)=f(x)?g(x).
(1)求F(x)的解析式;
(2)若F(x)在R上是减函数,求实数a的取值范围;
(3)若a=
53
,F(x)的曲线上是否存在两点,使得过这两点的切线互相垂直,若存在,求出切线方程;若不存在,说明理由.
分析:(1)由F(x)=f(x)?g(x)=(x2-a)(1-x),能求出F(x)的解析式.
(2)由F(x)=-x3+x2-ax+a,知F′(x)=-3x2+2x-a,由F(x)在R上是减函数,知△=4-12a≤0,由此能求出实数a的取值范围.
(3)a=
5
3
时,F(x)=-x3+x2-
5
3
x
+
5
3
,设P(x1,y1),Q(x2 ,y2)是F(x)曲线上的任意两点,由题设条件能推导出F(x1)F(x2)=-1不成立,从而得到F(x)的曲线上不存在两点,使得过这两点的切线互相垂直.
解答:解:(1)∵x?y=(x+a)(1-y),f(x)=x2,g(x)=x,
∴F(x)=f(x)?g(x)
=(x2-a)(1-x)
=-x3+x2-ax+a,
(2)∵F(x)=-x3+x2-ax+a,
∴F′(x)=-3x2+2x-a,
∵F(x)在R上是减函数,
∴△=4-12a≤0,解得a
1
3

故实数a的取值范围是[
1
3
,+∞).
(3)a=
5
3
时,F(x)=-x3+x2-
5
3
x
+
5
3

设P(x1,y1),Q(x2 ,y2)是F(x)曲线上的任意两点,
F(x)=-3x2+2x-
5
3

=[3(x-
1
3
2+
4
3
]<0,
F(x1)F(x2)=[3(x1-
1
3
2+
4
3
]•[3((x2-
1
3
 2 +
4
3
]>0,
F(x1)F(x2)=-1不成立,
∴F(x)的曲线上不存在两点,使得过这两点的切线互相垂直.
点评:本题考查函数的解析式的求法,考查满足条件的实数的取值范围的求法,考查两条互相垂直的切线是否存在的判断,解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用.
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a≥
1
3
a≥
1
3

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