如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等,D、E分别是CC1和AB1的中点,点F在BC上且满足BF∶FC=1∶3.
(1)若M为AB中点,求证:BB1∥平面EFM;
(2)求证:EF⊥BC;
(3)求二面角A1-B1D-C1的大小.
(1)证明:连结EM、MF,∵M、E分别是正三棱柱的棱AB和AB1的中点, ∴BB1∥ME,又BB1平面EFM,∴BB1∥平面EFM. (2)证明:取BC的中点N,连结AN由正三棱柱得.AN⊥BC, 又BF∶FC=1∶3,∴F是BN的中点,故MF∥AN, ∴MF⊥BC,而BC⊥BB1,BB1∥ME. ∴ME⊥BC,由于MF∩ME=M,∴BC⊥平面EFM, 又EF平面EFM,∴BC⊥EF. (3)解:取B1C1的中点O,连结A1O知,A1O⊥面BCC1B1,过点O作B1D的垂线OQ,垂足为Q,连结A1Q,由三垂线定理,A1Q⊥B1D,故∠A1QD为二面角A1-B1D-C的平面角,易得∠A1QD=arctan. |
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