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给出问题:已知△ABC满足a•cosA=b•cosB,试判断△ABC的形状,某学生的解答如下:
(i)a•?a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)?(a2-b2)•c2=(a2-b2)(a2+b2)?c2=a2+b2
故△ABC是直角三角形.
(ii)设△ABC外接圆半径为R,由正弦定理可得,原式等价于2RsinAcosA=2RsinBcosB?sin2A=cos2B?A=B
故△ABC是等腰三角形.
综上可知,△ABC是等腰直角三角形.
请问:该学生的解答是否正确?若正确,请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法;若不正确,请在下面横线中写出你认为本题正确的结果   
【答案】分析:(i)利用余弦定理将角化为边,即可得到结论;(ii)由正弦定理,将边化为角,可得结论.
解答:解:不正确,解答的两种方法都可得出结论,但都不完整.
(i)a•?a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)?(a2-b2)•c2=(a2-b2)(a2+b2)?c2=a2+b2或a2-b2=0,故△ABC是等腰或直角三角形;
(ii)设△ABC外接圆半径为R,由正弦定理可得,原式等价于2RsinAcosA=2RsinBcosB?sin2A=sin2B?A=B或A+B=,故△ABC是等腰或直角三角形;
故答案为:等腰或直角三角形
点评:本题考查三角形形状的判断,解题的关键是利用余弦定理、正弦定理进行边角互化.
练习册系列答案
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(i)a•
b2+c2-a2
2bc
=b•
a2+c2-b2
2ac
?a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)?(a2-b2)•c2=(a2-b2)(a2+b2)?c2=a2+b2
故△ABC是直角三角形.
(ii)设△ABC外接圆半径为R,由正弦定理可得,原式等价于2RsinAcosA=2RsinBcosB?sin2A=cos2B?A=B
故△ABC是等腰三角形.
综上可知,△ABC是等腰直角三角形.
请问:该学生的解答是否正确?若正确,请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法;若不正确,请在下面横线中写出你认为本题正确的结果
等腰或直角三角形
等腰或直角三角形

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故ΔABC事直角三角形.

(ii)设ΔABC外接圆半径为R,由正弦定理可得,原式等价于

故ΔABC是等腰三角形.

综上可知,ΔABC是等腰直角三角形.

请问:该学生的解答是否正确?若正确,请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法;若不正确,请在下面横线中写出你认为本题正确的结果________.

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故△ABC是直角三角形.
(ii)设△ABC外接圆半径为R,由正弦定理可得,原式等价于2RsinAcosA=2RsinBcosB?sin2A=cos2B?A=B
故△ABC是等腰三角形.
综上可知,△ABC是等腰直角三角形.
请问:该学生的解答是否正确?若正确,请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法;若不正确,请在下面横线中写出你认为本题正确的结果________.

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故△ABC是直角三角形.
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故△ABC是等腰三角形.
综上可知,△ABC是等腰直角三角形.
请问:该学生的解答是否正确?若正确,请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法;若不正确,请在下面横线中写出你认为本题正确的结果   

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