Question

已知函数f（x）=x³+3ax-1，a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=1处的切线与直线y=6x+6平行，求实数a的值；
（Ⅱ）设函数（x）=f′（x）-6，对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0成立，求实数x的取值范围；
（Ⅲ）当a≤0时，请问：是否存在整数a的值，使方程a有且只有一个实根？若存在，求出整数a的值；否则，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导数，利用函数f（x）的图象在x=1处的切线与直线y=6x+6平行，可得f'（1）=6，从而可求实数a的值；
（Ⅱ）构造函数h（a）=3a+3x²-6，则对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有h（a）＜0成立，可得

h(1)＜0 h(-1)＜0

，从而可求实数x的取值范围；
（Ⅲ）存在．方程f（x）=15有且只有一个实根，即为函数y=f（x）的图象与直线y=15只有一个公共点，分类讨论，可得-4＜a≤0，利用a是整数，即可得结论．

解答：解：（Ⅰ）求导数可得f′（x）=3x²+3a
∵函数f（x）的图象在x=1处的切线与直线y=6x+6平行，
∴f'（1）=6
∴3+3a=6，
∴a=1；
（Ⅱ）g（x）=f′（x）-6=3x²+3a-6
令h（a）=3a+3x²-6，则对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有h（a）＜0成立
∴

h(1)＜0 h(-1)＜0

，即

3x2-3＜0 3x2-9＜0

解得：-1＜x＜1
（Ⅲ）存在                 
理由如下：方程f（x）=15有且只有一个实根，即为函数y=f（x）的图象与直线y=15只有一个公共点
∵f'（x）=3x²+3a，
∴（1）若a=0，则f'（x）≥0，∴f（x）在实数集R上单调递增，此时，函数y=f（x）的图象与直线y=15只有一个公共点；
（2）若a＜0，则f′(x)=3(x+

-a

)(x-

-a

)
列表如下：

x	(-∞，- -a )	- -a	(- -a ， -a )	-a	( -a ，+∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）		f(- -a )		f( -a )

∴f极大值(x)=f(-

-a

)=(-

-a

)3+3a(-

-a

)-1=-2a

-a

-1；f极小值(x)=f(

-a

)=(

-a

)3+3a(

-a

)-1=2a

-a

-1＜0
依题意，必须满足f(-

-a

)＜15，即(-a)

3

2

＜8，∴-4＜a＜0
综上-4＜a≤0
∵a是整数，∴a可取-3，-2，-1，0
∴存在整数a的值为-3，-2，-1，0，使方程f（x）=15有且只有一个实根．

点评：本题考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．