Question

【题目】已知椭圆C：（a＞b＞0）的焦距为2，且过点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知△BMN是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为△BMN的重心，求点O到直线MN距离的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由题意焦距的值可得c的值，再由椭圆过点，及a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；

（2）分B的纵坐标为0和不为0两种情况讨论，设B的坐标，由O是三角形的重心可得MN的中点的坐标，设M，N的坐标，代入椭圆方程两式相减可得直线MN的斜率，求出直线MN的方程，求出O到直线MN的距离的表达式，再由B的纵坐标的范围求出d的取值范围，进而求出d的最小值.

解：（1）由题意可得：椭圆的焦距为2，则，又椭圆过点

，解得：a2＝4，b2＝3，

所以椭圆的方程为：1；

（2）设B，记线段MN中点D，

因为O为BMN的重心，所以2，则点D的坐标为：，

若n＝0，则|m|＝2，此时直线MN与x轴垂直，

故原点O到直线MN的距离为，即为1，

若n≠0，此时直线MN的斜率存在，

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝﹣m，y1+y2＝﹣n，

又1，1，

两式相减0，

可得：kMN，

故直线MN的方程为：y（x），即6mx+8ny+3m2+4n2＝0，

则点O到直线MN的距离d，

将1，代入得d，

因为0＜n2≤3，所以dmin，又1，

故原点O到直线MN的距离的最小值为.