Question

设三组实验数据（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃）的回归直线方程是：

y

=

b

x+

a

，使代数式[y₁-（

b

x₁+

a

）]²+[y₂-（

b

x₂+

a

）]²+[y₃-（

b

x₃+

a

）]²的值最小时，

b

=

x1y1+x2y2+x3y3-3 . x • . y

x12+x22-3 . x 2

，

a

=

.

y

-

b

x，
（

.

x

，

.

y

分别是这三组数据的横、纵坐标的平均数）．若有六组数据列表如下：

x	2	3	4	5	6	7
y	4	6	5	6.2	8	7.1

（1）求上表中前三组数据的回归直线方程；
（2）若|y_i-（

b

x_i+

a

）|≤0.2，即称（x_i，y_i）为（1）中回归直线的拟和“好点”，求后三组数据中拟和“好点”的概率．

Answer 1

分析：（1）根据表中的样本数据，可以求得

.

x

和

.

y

，利用求b的公式即可求得b的值，再根据回归方程必过点（

.

x

，

.

y

），即可求得a的值，从而求得答案；
（2）分别利用|y_i-（

b

x_i+

a

）|对后三组数据进行求解，判断对不等式是否成立，即可得到拟合“好点”的组数，从而确定后三组数据中拟合“好点”的概率．

解答：解：（1）前三组数的平均数为

.

x

=3， 

.

y

=5，
∵

b

=

x1y1+x2y2+x3y3-3 . x • . y

x12+x22-3 . x 2

，
∴

b

=

2×4+3×6+4×5-3×3×5

22+32+42-3×32

=

1

2

，
又∵回归方程

y

=

b

x+

a

必定过样本中心即（3，5），
∴5=

1

2

×3+

a

，解得

a

=

7

2

，
∴回归直线方程是

y

=

1

2

x+

7

2

；
（2）后三组数据分别代入|y_i-（

b

x_i+

a

）|中求解可得，
|6.2-3.5-0.5×5|=0.2≤0.2，
|8-3.5-0.5×6|=1.5＞0.2，
|7.1-3.5-0.5×7|=0.1＜0.2，
∵若|y_i-（

b

x_i+

a

）|≤0.2，即称（x_i，y_i）为（1）中回归直线的拟和“好点”，
∴拟和“好点”有2组，
∴后三组中拟合“好点”的概率P=

2

3

．

点评：本题考查了回归方程的求解，求解时要注意回归方程必定过样本数据的中心（

.

x

，

.

y

）．本题还考查了新定义问题，即给出一个新概念，利用题中所给的概念进行解题，关键是正确理解新定义的含义．考查了古典概型的求解，较有新意的一题．属于基础题．