Question

某厂生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台，需增加投入 0.25万元．市场对此产品的年需求量为5百台（即产量多于5百台时，由于市场需求只能售出5百台，但一直要照常增加投入成本）．则当售出x百台时，收入（万元）为x的函数：R（x）=5x-

x2

2

，0≤x≤5．请解答：
（1）分别写出成本函数C（x）；
（2）把利润表示为年产量的和函数L（x）；
（3）年产量是多少时，工厂所得利润最大？

Answer 1

分析：（1）生产一种机器的固定成本为0.5万元，每生产1百台，需增加投入 0.25万元，由此能求出当产量为x百台时，成本函数C（x）．
（2）由市场对此产品的年需求量为5百台，当x≤5时，产品能售出x台，x＞5时，只能售出5百台，由此能求出利润函数．
（3）由（2）知：当0≤x≤5时，L（x）=4.75x-

x2

2

-0.5，当x＞5时，L（x）=12-0.25，由此能求出工厂所得利润最大时的年产量．

解答：解：（1）∵生产一种机器的固定成本为0.5万元，每生产1百台，需增加投入 0.25万元，
∴当产量为x百台时，成本函数C（x）=0.5+0.25x，x＞0．…（2分）
（2）∵市场对此产品的年需求量为5百台，
∴当x≤5时，产品能售出x台，x＞5时，只能售出5百台，故利润函数为：
L（x）=R（x）-C（x）=

(5x- x2 2 )-(0.5+0.25x)，0≤x≤5 (5×5- 52 2 )-(0.5+0.25x)，x＞5

=

4.75x- x2 2 -0.5，0≤x≤5 12-0.25x，x＞5

．…（8分）
3）当0≤x≤5时，L（x）=4.75x-

x2

2

-0.5，
当x=4.75时，得L（x）_max=L（4.75）=10.8万元；…（10分）
当x＞5时，L（x）=12-0.25，利润在12-0.25×5=10.75万元以下，
故生产475台时利润最大．…（12分）

点评：本题考查函数在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意分析题设条件中的数量关系，合理地进行等价转化．