Question

如图所示，有公共边的两正方形ABB₁A₁与BCC₁B₁的边AB、BC均在平面α内，且∠ABC=60°，M是BC的中点，点N在C₁C上．
（1）试确定点N的位置，使AB₁⊥MN．
（2）当AB₁⊥MN时，求二面角M-AB₁-N的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以B为坐标原点，分别以BC，BB₁为y，z轴，建立空间直角坐标系，设出正方形的边长，由题意求出点A，B₁，M的坐标，设出N点坐标，利用向量

AB1

与

MN

的数量积为0可求出N点的坐标，得到N的位置．
（2）求出两个平面MAB₁，AB₁N的一个法向量，由平面的法向量所成角的余弦值得到二面角M-AB₁-N的余弦值．

解答：解：（1）依题意得BB₁⊥AB，BB₁⊥BC，而AB，BC均在α内且相交，∴BB₁⊥平面α．
以B为坐标原点，分别以BC，BB₁为y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则B（0，0，0），
令正方形边长为2，又∠ABC=60°，故得
A(

3

，1，0)，B₁（0，0，2），M（0，1，0），N（0，2，λ）（0≤λ≤2）．
则

AB1

=(-

3

，-1，2)， 

MN

=(0，1，λ)．
由AB₁⊥MN，得

AB1

•

MN

=(-

3

，-1，2)•(0，1，λ)=-1+2λ=0
∴λ=

1

2

=

1

4

CC1，
即点N的位置在线段C₁C的四等分点靠近C处．
（2）由（1）得，N(0，2，

1

2

)，

B1M

=(0，1，-2)，

B1N

=(0，2，-

3

2

)
设

n1

=(x1，y1，z1)，

n2

=(x2，y2，z2)分别为平面MAB₁，AB₁N的一个法向量．
由

n1 • AB1 =0 n1 • B1M =0

，即

- 3 x1-y1+2z1=0 y1-2z1=0

，
取z₁=1，得x₁=0，y₁=2，所以

n1

=(0，2，1)．
由

n2 • AB1 =0 n2 • B1N =0

，即

- 3 x2-y2+2z2=0 2y2- 3 2 z2=0

，
取z2=4

3

，得x2=5，y2=3

3

，所以

n2

=(5，3

3

，4

3

)．
则cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

6 3 +4 3

5 • 100

=

15

5

．
所以二面角M-AB₁-N的余弦值为

15

5

．

点评：本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了二面角的平面角的求法，利用空间向量求解二面角时，关键是明确二面角的平面角与所找的两个平面法向量的关系，即相等还是互补．此题是中档题．