Question

设F₁、F₂分别为椭圆C：=1(A＞b＞0)的左、右两个焦点.

（1）若椭圆C上的点A（1，3[]2）到F₁、F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标;

（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F₁K的中点的轨迹方程;

（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM?,k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值，试写出双曲线=1具有类似特性的性质并加以证明.

Answer 1

解:（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F₁、F₂两点的距离之和是4，得2A=4,即A=2.?

又点A（1，3[]2）在椭圆上，因此+=1，b²=3.??

∴C²=A²-b²=1.?

∴椭圆C的方程为=1,焦点F₁（-1，0），F₂（1，0）.??

（2）设椭圆C上的动点为K（x,y），线段F₁K的中点Q（x,y）满足：x=,y=,

∴x₁=2x+1,y₁=2y.?

∴=1，即(x+)²+=1为所求的轨迹方程.?

（3）类似的性质为：若M、N是双曲线=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值.设点M的坐标为（M,n），则点N的坐标为（-M,-n）,其中=1.

又设点P的坐标为（x,y），由k_PM=,?

k_PN=得k_PM·k_PN=·=^.?

将y²=x²-b²,n²=M²-b²代入,得k_PM·k_PN=