Question

圆x²+y²-2x-6y+9=0关于直线2x+y+5=0对称的圆的方程是

 

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Answer 1

分析：把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，设出对称圆心，利用中点在垂线上，圆心连线的斜率与已知直线的斜率为负倒数，求出圆心坐标，即可得到所求圆的方程．

解答：解：x²+y²-2x-6y+9=0
化成标准形式：（x-1）²+（y-3）²=1
圆心为（1，3），半径为 r₁=1
设对称圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²
圆心为（a，b），则半径 r₂=1
∵对称圆与圆x²+y²-2x-6y+9=0 关于直线2x+y+5=0对称
即对称圆的圆心（a，b）与圆心（1，3）关于直线2x+y+5=0对称

b-3

a-1

=

1

2

   化简得       a-2b+5=0   ①
2×

a+1

2

+

3+b

2

+5=0  化简得        2a+b+15=0     ②
①+2×②得  a=-7
将 a=-4代入①中可得  b=-1
所以对称圆的方程是 （x+4）²+（y+1）²=1
故答案为（x+4）²+（y+1）²=1

点评：本题是基础题，考查关于点、直线对称的圆的方程，解题的关键是：垂直、平分关系的应用，对称圆的半径与已知圆的半径相等的关系．仔细审题，详细解答，体现数学素养．