Question

已知曲线y=2sin（x+

π

4

）cos（

π

4

-x）与直线y=

1

2

相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为P₁，P₂，P₃，…，则|

P1P5

|等于（　　）

A．π

B．2π

C．3π

D．4π

Answer 1

分析：利用三角函数的恒等变换化简函数y的解析式为y=1+sin2x，由1+sin2x=

1

2

，解得 2x=2kπ-

π

6

，或 2x=2kπ-

5π

6

，k∈z，可分别求点的坐标，可得长度．

解答：解：曲线y=2sin（x+

π

4

）•cos（

π

4

-x）=2（

2

2

sinx+

2

2

cosx） （

2

2

cosx+

2

2

sinx ）
=cos²x+sin²x+2sinxcosx=1+sin2x．
由1+sin2x=

1

2

，解得 2x=2kπ-

π

6

，或 2x=2kπ-

5π

6

，k∈z，
即 x=kπ-

π

12

，或 x=kπ-

5π

12

，k∈z．故P₁、P₂、…、P₅的横坐标分别为：

7π

12

，

11π

12

，

19π

12

，

23π

12

，

31π

12

．
故|

P1P5

|=

31π

12

-

7π

12

=2π
故选B

点评：本题考查三角函数的恒等变换，直线与曲线的相交的性质，关键是要求出交点的坐标，属基础题．