Question

（2012•南充三模）已知平面非零向量

a

、

b

、

c

两两所成的角相等，且|

a

|=|

b

|=|

c

|=1，则|

a

+

b

 +

c

|的值为

3或0

．

Answer 1

分析：平面非零向量

a

、

b

、

c

两两所成的角相等，故向量

a

、

b

、

c

两两所成的角都等于120°或0°，分别求出

a

•

b

、

b

•

c

、

c

•

a

的值，再由|

a

+

b

 +

c

|=

( a + b + c )2

 求得结果．

解答：解：平面非零向量

a

、

b

、

c

两两所成的角相等，故向量

a

、

b

、

c

两两所成的角都等于120°或0°，
再由且|

a

|=|

b

|=|

c

|=1，可得当向量

a

、

b

、

c

两两所成的角都等于120°时，

a

•

b

=

b

•

c

=

c

•

a

=-

1

2

．
|

a

+

b

 +

c

|=

( a + b + c )2

=

3+3(-1)

=0．
当向量

a

、

b

、

c

两两所成的角都等于0°时，

a

•

b

=

b

•

c

=

c

•

a

=1．
|

a

+

b

 +

c

|=

( a + b + c )2

=

( a 2+ b 2+ c 2)+2 a • b +2 b • c +2 c • a

=3，
故答案为0或3．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，体现了分类讨论的数学思想，要特别注意夹角为0°的情况，这是解题的易错点．