Question

（2012•福州模拟）已知函数f（x）=-x²+2lnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）=x+

a

x

有相同极值点，
（i）求实数a的值；
（ii）若对于“x₁，x₂∈[

1

e

，3]，不等式

f(x1)-g(x2)

k-1

≤1恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）（ⅰ）求导函数，利用函数f（x）与g（x）=x+

a

x

有相同极值点，可得x=1是函数g（x）的极值点，从而可求a的值；
（ⅱ）先求出x₁∈[[

1

e

，3]时，f（x₁）_min=f（3）=-9+2ln3，f（x₁）_max=f（1）=-1；x₂∈[[

1

e

，3]时，g（x₂）_min=g（1）=2，g（x₂）_max=g（3）=

10

3

，再将对于“x₁，x₂∈[

1

e

，3]，不等式

f(x1)-g(x2)

k-1

≤1恒成立，等价变形，分类讨论，即可求得实数k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）求导函数可得：f′（x）=-2x+

2

x

=-

2(x+1)(x-1)

x

（x＞0）
由f′（x）＞0且x＞0得，0＜x＜1；由f′（x）＜0且x＞0得，x＞1．
∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数．
∴函数f（x）的最大值为f（1）=-1．
（Ⅱ）∵g（x）=x+

a

x

，∴g′（x）=1-

a

x2

．
（ⅰ）由（Ⅰ）知，x=1是函数f（x）的极值点，
又∵函数f（x）与g（x）=x+

a

x

有相同极值点，
∴x=1是函数g（x）的极值点，
∴g′（1）=1-a=0，解得a=1．
（ⅱ）∵f（

1

e

）=-

1

e2

-2，f（1）=-1，f（3）=-9+2ln3，
∵-9+2ln3＜-

1

e2

-2＜=1，即f（3）＜f（

1

e

）＜f（1），
∴x₁∈[[

1

e

，3]时，f（x₁）_min=f（3）=-9+2ln3，f（x₁）_max=f（1）=-1
由（ⅰ）知g（x）=x+

1

x

，∴g′（x）=1-

1

x2

．
当x∈[

1

e

，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，3]时，g′（x）＞0．
故g（x）在[

1

e

，1）为减函数，在（1，3]上为增函数．
∵g(

1

e

)=e+

1

e

，g（1）=2，g（3）=

10

3

，
而2＜e+

1

e

＜

10

3

，∴g（1）＜g（

1

e

）＜g（3）
∴x₂∈[[

1

e

，3]时，g（x₂）_min=g（1）=2，g（x₂）_max=g（3）=

10

3

①当k-1＞0，即k＞1时，
对于“x₁，x₂∈[

1

e

，3]，不等式

f(x1)-g(x2)

k-1

≤1恒成立，等价于k≥[f（x₁）-g（x₂）]_max+1
∵f（x₁）-g（x₂）≤f（1）-g（1）=-1-2=-3，
∴k≥-2，又∵k＞1，∴k＞1．
②当k-1＜0，即k＜1时，
对于“x₁，x₂∈[

1

e

，3]，不等式

f(x1)-g(x2)

k-1

≤1恒成立，等价于k≤[f（x₁）-g（x₂）]_min+1
∵f（x₁）-g（x₂）≥f（3）-g（3）=-

37

3

+2ln3，
∴k≤-

34

3

+2ln3．
又∵k＜1，∴k≤-

34

3

+2ln3．
综上，所求的实数k的取值范围为（-∞，-

34

3

+2ln3]∪（1，+∞）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．