Question

（2010•青岛一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右两焦点分别为F₁，F₂，P是椭圆C上的一点，且在x轴的上方，H是PF₁上一点，若

PF2

•

F1F2

=0，

OH

•

PF1

=0，|

OH

|=λ|

OF1

|，λ∈[

1

3

，

1

2

]（其中O为坐标原点）．
（Ⅰ）求椭圆C离心率e的最大值；
（Ⅱ）如果离心率e取（Ⅰ）中求得的最大值，已知b²=2，点M（-1，0），设Q是椭圆C上的一点，过Q、M两点的直线l交y轴于点N，若

NQ

=2

QM

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，△F₁OH与△F₁PF₂相似，所以

|OH|

|OF1|

=

|PF2|

|F1P|

=λ，|PF₂|=

b2

a

，|PF₁|=2a-

b2

a

，从而可求λ=

b2

2a2-b2

，于是有e2=

2

1+λ

-1，而λ∈[

1

3

，

1

2

]，可求椭圆C离心率e的最大值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知道椭圆C离心率e的最大值是

2

2

，椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1，直线l的其方程为y=k（x+1），N（0，k）设Q（x₁，y₁），由

NQ

=2

QM

可得（x₁，y₁-k）=2（-1-x₁，-y₁），求得x₁，y₁，代入椭圆方程可求得k．

解答：解：（Ⅰ）由题意知PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁
则有△F₁OH与△F₁PF₂相似，所以

|OH|

|OF1|

=

|PF2|

|F1P|

=λ…（2分）
设F₁（-c，0），F₂（c，0），c＞0，P（c，y₁），则有

c2

a2

+

y12

b2

=1，解得y1=

b2

a

，
所以|PF2|=y1=

b2

a

根据椭圆的定义得：|F1P|=2a-|PF 2|=2a-

b2

a

…（4分）
∴λ=

b2

2a2-b2

，即

b2

a2

=

2λ

1+λ

，所以e2=

c2

a2

=1-

b2

a2

=

2

1+λ

-1…（6分）
显然e2=

2

1+λ

-1在[

1

3

，

1

2

]上是单调减函数，当λ=

1

3

时，e²取最大值

1

2

．
所以椭圆C离心率e的最大值是

2

2

…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知e2=

c2

a2

=1-

b2

a2

=1-

2

a2

=

1

2

，解得a²=4，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1…（10分）
由题意知直线l的斜率存在，故设其斜率为k，则其方程为y=k（x+1），N（0，k）
设Q（x₁，y₁），由于

NQ

=2

QM

，所以有（x₁，y₁-k）=2（-1-x₁，-y₁）
∴x1=-

2

3

，y1=

k

3

…（12分）
又Q是椭圆C上的一点，则

(- 2 3 )2

4

+

( k 3 )2

2

=1，解得k=±4，
所以直线l的方程为4x-y+4=0或4x+y+4=0…（14分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查椭圆的性质，难点在于（Ⅰ）中离心率e与λ关系的分析整理，突出转化思想与方程思想的运用，综合性强，属于难题．