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(2010•青岛一模)已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右两焦点分别为F1,F2,P是椭圆C上的一点,且在x轴的上方,H是PF1上一点,若
PF2
F1F2
=0,
OH
PF1
=0,|
OH
|=λ|
OF1
|
λ∈[
1
3
1
2
]
(其中O为坐标原点).
(Ⅰ)求椭圆C离心率e的最大值;
(Ⅱ)如果离心率e取(Ⅰ)中求得的最大值,已知b2=2,点M(-1,0),设Q是椭圆C上的一点,过Q、M两点的直线l交y轴于点N,若
NQ
=2
QM
,求直线l的方程.
分析:(Ⅰ)根据题意,△F1OH与△F1PF2相似,所以
|OH|
|OF1|
=
|PF2|
|F1P|
,|PF2|=
b2
a
,|PF1|=2a-
b2
a
,从而可求λ=
b2
2a2-b2
,于是有e2=
2
1+λ
-1
,而λ∈[
1
3
1
2
],可求椭圆C离心率e的最大值.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知道椭圆C离心率e的最大值是
2
2
,椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
2
=1
,直线l的其方程为y=k(x+1),N(0,k)设Q(x1,y1),由
NQ
=2
QM
可得(x1,y1-k)=2(-1-x1,-y1),求得x1,y1,代入椭圆方程可求得k.
解答:解:(Ⅰ)由题意知PF2⊥F1F2,OH⊥PF1
则有△F1OH与△F1PF2相似,所以
|OH|
|OF1|
=
|PF2|
|F1P|
…(2分)
设F1(-c,0),F2(c,0),c>0,P(c,y1),则有
c2
a2
+
y12
b2
=1
,解得y1=
b2
a

所以|PF2|=y1=
b2
a
根据椭圆的定义得:|F1P|=2a-|PF 2|=2a-
b2
a
…(4分)
λ=
b2
2a2-b2
,即
b2
a2
=
1+λ
,所以e2=
c2
a2
=1-
b2
a2
=
2
1+λ
-1
…(6分)
显然e2=
2
1+λ
-1
[
1
3
1
2
]
上是单调减函数,当λ=
1
3
时,e2取最大值
1
2

所以椭圆C离心率e的最大值是
2
2
…(8分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知e2=
c2
a2
=1-
b2
a2
=1-
2
a2
=
1
2
,解得a2=4,
∴椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
2
=1
…(10分)
由题意知直线l的斜率存在,故设其斜率为k,则其方程为y=k(x+1),N(0,k)
设Q(x1,y1),由于
NQ
=2
QM
,所以有(x1,y1-k)=2(-1-x1,-y1
x1=-
2
3
y1=
k
3
…(12分)
又Q是椭圆C上的一点,则
(-
2
3
)
2
4
+
(
k
3
)
2
2
=1
,解得k=±4,
所以直线l的方程为4x-y+4=0或4x+y+4=0…(14分)
点评:本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,着重考查椭圆的性质,难点在于(Ⅰ)中离心率e与λ关系的分析整理,突出转化思想与方程思想的运用,综合性强,属于难题.
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