Question

S_n为等差数列{a_n}的前n项的和，已知S₁₅＞0，S₁₆＜0，记bn=

Sn

an

（n=1，2，…，15），若b_n最大，则n=

 

Answer 1

分析：由等差数列的前n项和的公式分别表示出S₁₅＞0，S₁₆＜0，然后再分别利用等差数列的性质得到a₈大于0且a₉小于0，得到此数列为递减数列，前8项为正，9项及9项以后为负，由已知的不等式得到数列的前1项和，前2项的和，…，前15项的和为正，前16项的和，前17项的和，…，的和为负，所以得到b₉及以后的各项都为负，即可得到b₈为最大项，即可得到n的值．

解答：解：由S₁₅=

15(a1+a15)

2

=15a₈＞0，得到a₈＞0；由S₁₆=

16(a1+a16)

2

=8（a₈+a₉）＜0，得到a₉＜0，
∴等差数列{a_n}为递减数列．
则a₁，a₂，…，a₈为正，a₉，a₁₀，…为负；S₁，S₂，…，S₁₅为正，S₁₆，S₁₇，…为负，
则

S9

a9

＜0，

S10

a10

＜0，…，

S15

a15

＜0，
又S₈＞S₁＞0，a₁＞a₈＞0，得到

S8

a8

＞

S1

a1

＞0，故b₈=

S8

a8

最大．
故答案为：8

点评：此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道综合题．