Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，已知Sn=

n 2   +3n

2

，数列{b_n}满足(bn+1)2=bn•bn+2(n∈N*)且b₂=4，b₅=32．
（1）分别求出数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足cn=

an，n为奇数 bn，n为偶数

，求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）设P=

n2

4

+24n-

7

12

，(n∈N*)，当n为奇数时，试判断方程T_n-P=2013是否有解，若有请求出方程的解，若没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用数列和与通项的关系，可求数列{a_n}的通项公式；确定{b_n}为等比数列，可得数列{b_n}的通项公式；
（2）分n为偶数与奇数，利用分组求和法，分别求和，可得结论；
（3）确定n≥5时，f（n）=T_n-P单调递增，计算相应函数值，可得结论．

解答：解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

n2+3n

2

-

(n-1)2+3(n-1)

2

=n+1，所以a_n=n+1（n≥2）
又n=1时，n+1=2=a₁，所以an=n+1(n∈N*)…（2分）
因为(bn+1)2=bn•bn+2(n∈N*)，所以{b_n}为等比数列                              …（3分）
又b₂=4，b₅=32，所以公比为2，首项为2，所以bn=2n(n∈N*)…（4分）
（2）当n为偶数时，T_n=（a₁+a₃+…+a_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）
=(2+4+…+n)+(22+24+…+2n)=

n2+2n

4

+

4

3

(2n-1)…（6分）
当n为奇数时，n+1为偶数，Tn+1=

(n+1)2+2(n+1)

4

+

4

3

(2n+1-1)=

n2+4n+3

4

+

4

3

(2n+1-1)
所以Tn=Tn+1-Cn+1=

n2+4n+3

4

+

4

3

(2n+1-1)-2n+1=

n2+4n+3

4

+

4

3

(2n-1-1)…（8分）
即Tn=

n2+2n 4 + 4 3 (2n-1)，n为偶数 n2+4n+3 4 + 4 3 (2n-1-1)，n为奇数

…（9分）
（3）设f(n)=Tn-P=

n2

4

+n+

3

4

+

2n+1

3

-

4

3

-

n2

4

-24n+

7

12

=

2n+1

3

-23n…（10分）
∴f(n+2)-f(n)=

2n+3

3

-23(n+2)-(

2n+1

3

-23n)=2n+1-46…（11分）
∴当x≥5时，f（n+2）-f（n）=2ⁿ⁺¹-46＞0，此时f（n）单调递增．
又f(5)=

26

3

-23×5=

64

3

-115＜0，f(11)=

212

3

-23×11=

4096

3

-253＜2013，f(13)=

214

3

-23×13=

16384

3

-299＞2013…（13分）
所以原方程无解．…（14分）

点评：本题考查数列的通项与求和，考查数列的单调性，考查学生分析解决问题的能力，掌握数列的求和方法是关键．