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已知f(x)=a2x-2ax+1+2,(a>0,a≠1)的定义域为[-1,+∞).
(Ⅰ)若a=2,求y=f(x)的最小值;
(Ⅱ)当0<a<1时,若f(x)≤3对x∈[-1,2]恒成立,求a的范围.
分析:(I)换元,转化为二次函数,利用配方法可求y=f(x)的最小值;
(Ⅱ)换元,分离参数,求最大值,即可求a的范围.
解答:解:(Ⅰ)若a=2,f(x)=22x-4×2x+2,x∈[-1,+∞)
令t=2x,g(t)=f(x)=t2-4×t+2=(t-2)2-2,
t∈[
1
2
,+∞)
,∴f(x)的最小值为-2;…(5分)
(Ⅱ)令t=axh(t)=f(x)=t2-2at+2≤3⇒2a≥t-
1
t
…(7分)
当0<a<1时,2a≥t-
1
t
t∈[a2
1
a
]
恒成立…(9分)⇒2a≥[t-
1
t
]max=
1
a
-a⇒3a≥
1
a
⇒a≥
3
3
…(11分)
所以a∈[
3
3
,1)
.…(12分)
点评:本题考查函数的最值,考查恒成立问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)=a2x-
1
2
x3,x∈(-2,2)为正常数.
(1)可以证明:定理“若a、b∈R*,则
a+b
2
ab
(当且仅当a=b时取等号)”推广到三个正数时结论是正确的,试写出推广后的结论(无需证明);
(2)若f(x)>0在(0,2)上恒成立,且函数f(x)的最大值大于1,求实数a的取值范围,并由此猜测y=f(x)的单调性(无需证明);
(3)对满足(2)的条件的一个常数a,设x=x1时,f(x)取得最大值.试构造一个定义在D={x|x>-2,且x≠4k-2,k∈N}上的函数g(x),使当x∈(-2,2)时,g(x)=f(x),当x∈D时,g(x)取得最大值的自变量的值构成以x1为首项的等差数列.

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年重庆八中高一(上)期末数学试卷(解析版) 题型:解答题

已知f(x)=a2x-2ax+1+2,(a>0,a≠1)的定义域为[-1,+∞).
(Ⅰ)若a=2,求y=f(x)的最小值;
(Ⅱ)当0<a<1时,若f(x)≤3对x∈[-1,2]恒成立,求a的范围.

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科目:高中数学 来源:2006年上海市八校高三联考数学试卷(松江二中、青浦、七宝、育才、市二、行知、位育)(解析版) 题型:解答题

已知f(x)=a2x-x3,x∈(-2,2)为正常数.
(1)可以证明:定理“若a、b∈R*,则(当且仅当a=b时取等号)”推广到三个正数时结论是正确的,试写出推广后的结论(无需证明);
(2)若f(x)>0在(0,2)上恒成立,且函数f(x)的最大值大于1,求实数a的取值范围,并由此猜测y=f(x)的单调性(无需证明);
(3)对满足(2)的条件的一个常数a,设x=x1时,f(x)取得最大值.试构造一个定义在D={x|x>-2,且x≠4k-2,k∈N}上的函数g(x),使当x∈(-2,2)时,g(x)=f(x),当x∈D时,g(x)取得最大值的自变量的值构成以x1为首项的等差数列.

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科目:高中数学 来源:2010年高考数学新题型解析选编(4)(解析版) 题型:解答题

已知f(x)=a2x-x3,x∈(-2,2)为正常数.
(1)可以证明:定理“若a、b∈R*,则(当且仅当a=b时取等号)”推广到三个正数时结论是正确的,试写出推广后的结论(无需证明);
(2)若f(x)>0在(0,2)上恒成立,且函数f(x)的最大值大于1,求实数a的取值范围,并由此猜测y=f(x)的单调性(无需证明);
(3)对满足(2)的条件的一个常数a,设x=x1时,f(x)取得最大值.试构造一个定义在D={x|x>-2,且x≠4k-2,k∈N}上的函数g(x),使当x∈(-2,2)时,g(x)=f(x),当x∈D时,g(x)取得最大值的自变量的值构成以x1为首项的等差数列.

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