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已知{an}是各项均为正数的等差数列,lga1、lga2、lga4成等差数列.又bn=
1
a2n
,n=1,2,3,….
(Ⅰ)证明{bn}为等比数列;
(Ⅱ)如果无穷等比数列{bn}各项的和S=
1
3
,求数列{an}的首项a1和公差d.
(注:无穷数列各项的和即当n→∞时数列前项和的极限)
分析:(1)设{an}中首项为a1,公差为d.lga1,lga2,lga4成等差数列,把a1和d代入求得d,进而分别看当d=0,整理可得
bn+1
bn
=1,进而判断出{bn}为等比数列;进而看d=a1时,整理
bn+1
bn
=
1
2
,判断出{bn}为等比数列.
(2)无穷等比数列{bn}各项的和S=
1
3
.进而求得q和d,根据等比数列的前n项的和极限,进而得d.
解答:(1)证明:设{an}中首项为a1,公差为d.
∵lga1,lga2,lga4成等差数列∴2lga2=lga1+lga4∴a22=a1•a4
即(a1+d)2=a1(a1+3d)∴d=0或d=a1
当d=0时,an=a1,bn=
1
a2n
=
1
a1
,∴
bn+1
bn
=1,∴{bn}为等比数列;
当d=a1时,an=na1,bn=
1
a2n
=
1
2na1
,∴
bn+1
bn
=
1
2
,∴{bn}为等比数列.
综上可知{bn}为等比数列.
(2)解:∵无穷等比数列{bn}各项的和S=
1
3

∴|q|<1,由(1)知,q=
1
2
,d=a1.bn=
1
a2n
=
1
2na1

∴S=
b1
1-q
=
1
a2
1-q
=
1
2a1
1-
1
2
=
1
a1
=
1
3
,∴a1=3.
a1=3
d=3
点评:本题主要考查了等比关系的确定.数列与不等式,极限,函数等知识是常考的地方,属于中点.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知{an}是各项均为正数的等差数列,lga1,lga2,lga4成等差数列.又bn=
1
a2n
,n=1,2,3,….
(Ⅰ)证明{bn}为等比数列;
(Ⅱ)如果数列{bn}前3项的和等于
7
24
,求数列{an}的首项a1和公差d.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知{an}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2(
1
a1
+
1
a2
),a3+a4+a5=64(
1
a3
+
1
a4
+
1
a5

(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=(an+
1
an
2,求数列{bn}的前n项和Tn

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=2(
1
a1
+
1
a2
),a3+a4=32(
1
a3
+
1
a4
)

(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=an2+log2an,求数列{bn}的前n项和Tn

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1与a5的等比中项为2,则a2+a4的最小值等于
 

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