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精英家教网已知中心在原点、焦点在x轴上椭圆,离心率为
6
3
,且过点A(1,1)
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Π)如图,B为椭圆右顶点,椭圆上点C与A关于原点对称,过点A作两条直线交椭圆P、Q(异于A、B),交x轴与P',Q',若|AP'|=|AQ'|,求证:存在实数λ,使得
PQ
BC
分析:(Ⅰ)先把椭圆方程设出来,再利用离心率为
6
3
,且过点A(1,1)以及a2=b2+c2求出对应a,b,c的值即可.
(Π)先求出直线BC的斜率,再利用条件|AP'|=|AQ'|,知道直线AP的斜率k与AQ的斜率互为相反数,把直线AP的方程设出来,于椭圆方程联立,求出点P的坐标,同理求出点Q的坐标,只要直线PQ的斜率与直线BC的斜率相等即可证得结论.
解答:解:(Ⅰ)设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
.离心率为
6
3
c
a
=
6
3
?
c2
a2
=
2
3

∵点A(1,1)在椭圆上,∴
1
a2
+
1
b2
=1②
又a2=b2+c2
解得
a2=4
b2=
4
3
c2=
8
3

故所求椭圆方程为
x2
4
+
3y2
4
=1
(Ⅱ)由A(1,1)得C(-1,1)
则kBC=
0-(-1)
2-(-1)
=
1
3

易知AP的斜率k必存在,设AP;y=k(x-1)+1,则AQ:y=-k(x-1)+1,
x2
4
+
3y2
4
=1
y=k(x-1)+1
得(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0
由A(1,1)得x=1是方程(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0的一个根
由韦达定理得:xp=xp•1=
3k2-6k-1
1+3k2

以-k代k得xQ=
3k2+6k-1
1+3k2
故kPQ=
yP-yQ
xP-xQ
=
k(xP+xQ)-2k
xP-xQ
=
1
3

故BC∥PQ
即存在实数λ,使得
PQ
.
BC
点评:本题综合考查了直线与椭圆的位置关系以及向量共线问题.直线与圆锥曲线的位置关系,由于集中交汇了直线,圆锥曲线两章的知识内容,综合性强,能力要求高,还涉及到函数,方程,不等式,平面几何等许多知识,可以有效的考查函数与方程的思想,数形结合的思想,分类讨论的思想和转化化归的思想,因此,这一部分内容也成了高考的热点和重点.
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-
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