Question

在数列{a_n}中，a₁=5，a_n=qa_n-1+d（n≥2）
（1）数列{a_n}有可能是等差数列或等比数列吗？若可能给出一个成立的条件（不必证明）；若不可能，请说明理由；
（2）若q=2，d=3，是否存在常数x，使得数列{a_n+x}为等比数列；
（3）在（2）的条件下，设数列{a_n}的前n项和为S_n，求满足S_n≥2009的最小自然数n的值．

Answer 1

分析：（1）因为只需要写出一个成立的条件（不必证明），就可以答：当q=1时，数列为等差数列；当d=0且q≠0时数列为等比数列
（2）直接根据q=2，d=3得到a_n=2a_n-1+3整理得到a_n+3=2（a_n-1+3）即可说明结论；
（3）先根据二的结论求出数列{a_n}的前n项和为S_n，再解不等式即可．（是利用验证法求解的）．

解答：解：（1）当q=1时，数列为等差数列；当d=0且q≠0时数列为等比数列
（2）由已知得a_n=2a_n-1+3，所以a_n+3=2（a_n-1+3）
∴存在x=3使得{a_n+x}为等比数列
（3）由（2）得a_n=2ⁿ⁺²-3，
∴S_n=2ⁿ⁺³-3n-8，
∵S_n≥2009
即2ⁿ⁺³-3n-8≥2009
∴n的最小值为8

点评：本题主要考查等差数列与等比数列的综合．解决第二问的关键在于根据a_n=2a_n-1+3得到a_n+3=2（a_n-1+3），这也是数列递推关系式的应用问题．