已知函数,如果函数
恰有两个不同的极值点
,
,且
.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求的最小值,并指出此时
的值.
(Ⅰ);(Ⅱ)
.
解析试题分析:(Ⅰ)因为 函数恰有两个不同的极值点
,
,即
有两个零点
,
,则
方程有两个不同的零点
,
,构造函数
,求导
,
当时,
,
是减函数;当
时,
,
是增函数,所以
在
时取得最小值.∴
.(Ⅱ)由(Ⅰ)知
,即
,所以
,
于是,所以
,
,所以
.所以 当
时,
,
是减函数;当
时,
,
是增函数,所以
在
上的最小值为
,此时
.
试题解析:(Ⅰ)∵ 函数恰有两个不同的极值点
,
,即
有两个零点
,
∴ 方程有两个不同的零点
,
令.
,
当时,
,
是减函数;
当时,
,
是增函数,
∴在
时取得最小值.
∴.
(Ⅱ)∵,即
,
∴
于是,
∴
∵,
∴.
∴ 当时,
,
是减函数;
当时,
,
是增函数
∴在
上的最小值为
,此时
.
考点:1.函数中证明问题;3.函数与不等式的综合应用.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
湖北省第十四届运动会纪念章委托某专营店销售,每枚进价5元,同时每销售一枚这种纪念章需向荆州筹委会交特许经营管理费2元,预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚,经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚,而每增加一元则减少销售100枚,现设每枚纪念章的销售价格为元,
为整数.
(1)写出该专营店一年内销售这种纪念章所获利润(元)与每枚纪念章的销售价格
(元)的函数关系式(并写出这个函数的定义域);
(2)当每枚纪念章销售价格为多少元时,该特许专营店一年内利润
(元)最大,并求出最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
用一块钢锭烧铸一个厚度均匀,且表面积为2m2的正四棱锥形有盖容器(如下图)。设容器高为m,盖子边长为
m,
(1)求关于
的解析式;
(2)设容器的容积为V m3,则当h为何值时,V最大? 并求出V的最大值(求解本题时,不计容器厚度).
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
集合A是由适合以下性质的函数构成的:对于定义域内任意两个不相等的实数
,都有
.
(1)试判断=
及
是否在集合A中,并说明理由;
(2)设ÎA且定义域为(0,+¥),值域为(0,1),
,试写出一个满足以上条件的函数
的解析式,并给予证明.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
对于函数若存在
,使得
成立,则称
为
的不动点.
已知
(1)当时,求函数
的不动点;
(2)若对任意实数,函数
恒有两个相异的不动点,求
的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若图象上
、
两点的横坐标是函数
的不动点,且
、
两点关于直线
对称,求
的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为30元,并且每件产品须向总公司缴纳a元(a为常数,2≤a≤5)的管理费,根据多年的统计经验,预计当每件产品的售价为x元时,产品一年的销售量为(e为自然对数的底数)万件,已知每件产品的售价为40元时,该产品一年的销售量为500万件.经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于35元,最高不超过41元.
(Ⅰ)求分公司经营该产品一年的利润L(x)万元与每件产品的售价x元的函数关系式;
(Ⅱ)当每件产品的售价为多少元时,该产品一年的利润L(x)最大,并求出L(x)的最大值.
参考公式:为常数
.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知某公司生产品牌服装的年固定成本为10万元,每生产千件,须另投入2.7万元,设该公司年内共生产品牌服装千件并全部销售完,每千件的销售收入为
万元,且
.
(1)写出年利润(万元)关于年产量
(千件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量(升)关于行驶速度
(千米/每小时)的函数解析式可以表示为
,已知甲、乙两地相距100千米.
(1)当汽车以40千米/小时的速度行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(2)当汽车以多大速度行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?
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