Question

（2010•宝山区模拟）已知f（x）是定义域为R的偶函数，满足f（x+2）=f（x），如果f（x）在[1，2]上增函数，则下列命题正确的是（　　）

• A．f（x）在[0，1]上是增函数
• B．f（x）的图象关于直线x=1对称
• C．f(

  2

  3

  )＞f(

  3

  2

  )
• D．f（1）不是函数f（x）的最小值

Answer 1

分析：由题设条件可以得出，函数是一个偶函数，也是一个周期函数，又知其在[1，2]上增函数，考查四个选项，分别研究函数的单调性，对称性及最值，比较大小等，故可以先对函数的性质作综合研究，由于函数具有周期性，故可以先研究一个周期上的性质，再推理出整个定义域上的性质，然后再对四个选项的正误作出判断

解答：解：由题意f（x）是定义域为R的偶函数，f（x）在[1，2]上增函数
∴f（x）在[-2，-1]上是减函数，
又f（x+2）=f（x），
∴函数是一个周期是2的周期函数
故可得出f（x）在[0，1]上是减函数，f（x）在[-1，0]上是增函数，再由函数是偶函数，得f（x）在[0，1]上的图象与函数在[-1，0]上图象关于Y轴对称，故函数在[0，2]上的图象也关于直线x=1对称，再由周期性知，每一个x=n，n∈Z，这样的直线都是函数的对称轴
考察四个选项，B选项是正确的
故选B

点评：本题考查函数的周期性，奇偶性，单调性，是一个综合性较强的题，解题的关键是综合利用所给的性质对函数图象的特征作出判断，本题考查了推理判断的能力，数形结合的思想