Question

某班有学生56名，其中男生32名，女生24名，现决定从该班学生中抽取7名学生的研究性学习综合评价等级得分（成绩分为1～5分的五个档次）作为样本．
（1）如果按性别比例分层抽样，则男、女生分别抽取多少人？
（2）若这7位同学的研究性学习综合评价等级得分如下表：

等级得分	1	2	3	4	5
人数	0	1	1	2	3

①求样本的平均数及方差；
②用简单随机抽样方法从这7名学生中抽取2名，他们的得分分别为x，y，求|y-x|=2的概率．

Answer 1

分析：（1）根据题意，计算全班中男生、女生所占的比例，由分层抽样方法的定义，计算可得答案；
（2）①根据题意，结合平均数、方差公式直接计算可得答案；
②根据题意，将样本中的2个“4分”记为4₁，4₂，3个“5分”记为5₁，5₂，5₃，列举“从这7名学生中抽取2名”的基本事件可得其数目，分析可得满足条件|y-x|=2的基本事件的数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．

解答：解：（1）根据题意，全班有学生56名，其中男生32名，女生24名，
则男生占的比例为

32

56

=

4

7

，女生占的比例为

24

56

=

3

7

，
则抽取男生人数为：7×

4

7

=4人
则抽取女生人数为：7×

3

7

=3人
（2）①样本的平均数

.

x

=

0×1+1×2+1×3+2×4+3×5

7

=4
样本的方差s²=

1

7

[（2-4）²+（3-4）²+2×（4-4）²+3×（5-4）²]=

8

7

②由于样本中有2个“4分”，3个“5分”，不妨将2个“4分”记为4₁，4₂，将3个“5分”记为5₁，5₂，5₃，
则基本事件有（2，3），（2，4₁），（2，4₂），（2，5₁）（2，5₂），
（2，5₃），（3，4₁），（3，4₂），（3，5₁），（3，5₂），
（3，5₃），（4₁，4₂），（4₁，5₁），（4₁，5₂），（4₁，5₃），
（4₂，5₁），（4₂，5₂），（4₂，5₃），（5₁，5₂），（5₁，5₃），（5₂，5₃）共21个，
满足条件|y-x|=2的基本事件有（2，4₁），（2，4₂），（3，5₁），（3，5₂），（3，5₃）共5个，
故满足条件的概率为P=

5

21

．

点评：本题考查列举法求等可能事件的概率，涉及分层抽样方法以及平均数、方差的计算，需要掌握这些公式．