Question

如图，已知过点D(-2，0)的直线l与椭圆+y²＝1交于不同的两点A、B，点M是弦AB的中点.

(1)若=+，求点P的轨迹方程；

(2)求的取值范围.

Answer 1

解：(1)设直线l的方程为y=k(x+2)，P(x，y)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，        

由得(1+2k²)x²+8k²x+8k²-2=0.                                 

∴Δ=64k⁴-4(1+2k²)(8k²-2)＞0.∴0≤k²＜.                                  

∵=+，

∴x=x₁+x₂=-，y=y₁+y₂=k(x₁+x₂+4)=，                 

消去k,得x²+2y²+4x=0.                                                     

又x=-=-4+∈(-2,0]，

∴点P的轨迹方程为x²+2y²+4x=0(-2＜x≤0).                               

(2)=                  

=.                               

∵0≤k²＜，∴∈［,+∞).